如何在 C# 中模拟高振幅的钟摆运动

Question

我需要为一个简单的钟摆制作一个 C# 模拟器。 我已经在网上搜索了 3 天，但我被卡住了。

问题是我发现了许多方程可以将角度位置作为时间的函数，这非常适合我进行视觉模拟的需要，但问题是这些函数仅适用于小于 10 的角度，但我应该可以从任何角度进行模拟。 仅适用于小角度的方程示例：

来源：http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pend.html#c2

适用于任何角度（幅度）的方程太复杂了，因为它涉及微分方程和导数。我不知道如何在 C# 中实现这些。 我认为可行但我不知道如何使用的方程式示例：

来源：http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/070707.pdf （方程编号 32）

最后一个方程的问题是“sn”，即 Jacobi 椭圆函数 sn(u;m) u，我不知道如何在 C# 中使用

有人可以帮忙吗？也许还有另一个我可以以编程方式使用的方程，或者帮助我理解如果它真的有效，我如何使用最后一个方程。

Answer 1

如果你想模拟钟摆，你不需要精确的解决方案。您唯一需要的是在模拟的每个步骤中都有足够好的近似值，并结合足够的步骤。这类似于用足够多的线段来近似一个圆，每个线段都与理想圆相切。

现在，假设您的钟摆与垂直方向的偏差为theta 度（或弧度），如下图所示：

质量m 的重量为m * g，其中g 是重力加速度。现在，让我们估算一下钟摆在接下来的dt 秒内移动的角度alpha（dt 是一步的持续时间，所以dt 只是几分之一秒）。

由于切线方向上的加速度为g * cos(theta)，我们可以近似计算摆在dt 秒内移动的切线距离，就好像在这段时间内加速度是恒定的一样：

d = v * dt + g * sin(theta) (dt)^2 / 2

其中v是摆在角度位置theta.处的切线速度现在我们可以计算alpha为

alpha = arcsin(d / r)

其中r 是半径。因此，唯一剩下的就是更新v 的值，以便我们可以在下一步中重复相同的操作。方法如下

v := v + g * sin(theta) * dt

当然，当钟摆启动时，你可以初始化v = 0。

我自己没有尝试过，所以请告诉我这种“模拟”方法是否适合您。祝你好运！