插入排序分析和求和符号答案

【问题标题】：Insertion sort analysis and summation notation插入排序分析和求和符号
【发布时间】：2012-09-13 20:19:00
【问题描述】：

我试图了解插入排序的最坏情况分析，但我对 slide 21 (ppt) 所涉及的数学有疑问。

第一个公式我明白了：

但我正在努力解决这些问题：

【问题讨论】：

【解决方案1】：

从 1 到 n 的数字相加是高斯的技巧：

第一个公式

但是，您要计算的总和从 2 开始，而不是 1，这就是为什么您必须从公式中减去第一项（即 1）：

基本上，您计算从 1 到 (n-1) 的总和。如果你用n-1替换高斯技巧中的n，你会得到他们使用的第二个公式。

您还可以通过索引转换看到这一点：

如您所见，我已经调整了总和的边界：总和的上限和下限都减少了 1。实际上，这会将总和中的所有项减少 1 ，要更正此问题，您必须在 Σ 下的项上加 1：(j-1) + 1 = j。

【讨论】：

@steve jessop：也谢谢你。
为什么要除以 2？
@KyelJmD 如果你把数字 1 加到 10，然后你加上 (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6)，那是 11 的 5 倍。你除以 2，因为当你有 10 个数字时，你将它们分组二，你最终得到了一半的对：5.这有帮助吗？
但是为什么我们必须 (1 + 10) 等等？这只是一个数学证明吗？但我正在一点一点地得到它。
@KyelJmD 这不是证明，我只是重新排序了总和中的数字。使用更短的示例：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6，重新排序，我们有1 + 6 + 2 + 5 + 3 + 4，配对，我们有：(1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4)，评估括号，我们得到：7 + 7 + 7，即7*3，即7*6/2，完全正确公式告诉我们什么。

【解决方案2】：

Σ(j=2 to n) j=n(n+1)/2-1 从 2 而不是 1 开始。所以它是相同的术语加在一起除了 1。所以总和少了 1。

Σ(j=2 to n)(j-1) 是与Σ(j=1 to n-1)(j) 加在一起的相同术语。因此，要找到它的总和，请将公式 n(n+1)/2 中的 n 替换为 n-1。

【讨论】：