迭代计算的公式替换答案

【问题标题】：Formula replacement for iterative calculation迭代计算的公式替换
【发布时间】：2014-08-18 20:28:20
【问题描述】：

我被困在一个简单的计算中，我曾经在 for 循环中迭代计算。但是现在我不想再用循环来计算它了。

// What I know
double x0 =  p*J;
double x1 =  p*J -  p*J*J;
double x2 =  p*J -  p*J*J - p*J*J*J;
double x3 =  p*J -  p*J*J - p*J*J*J - p*J*J*J*J;

// What I want to know
double xi =  ?;

如何在不使用循环的情况下计算 xi？

【问题讨论】：

你到底想做什么？ xi 将收敛到 p*J - p*J*J/(1-J) 如果 |J| < 1 否则会发散，但你所说的问题没有意义。
@tmyklebu 为什么计算序列的部分和没有意义？
顺便说一句，即使它已经得到回答，这个问题在 SO 上几乎是题外话。下次使用Maths SO。
@Ordous：这就是他所追求的吗？我说不出来。
@tmyklebu 那么他所拥有的显然是一个系列（就此而言是一个简单的几何系列）。他在问如何计算没有循环的系列成员（即封闭形式表达式）。不是很重要，但对于一个简单的数学程序来说肯定是有意义的。

标签： loops math iteration formula taylor-series

【解决方案1】：

我们简化：

xi = pJ - pJ^2 - ... - pJ^(i+1)
   = pJ(1 - J - ... - J^i)
   = pJ(2 - 1 - J - ... - J^i)
   = pJ(2 - (1 + J + ... + J^i))

Wolfram Alpha 为我们提供了 1 + J + ... + J^i 的部分和；这是(J^(i + 1) - 1) / (J - 1)。我们将其代入我们的公式：

xi = pJ(2 - (J^(i + 1) - 1) / (J - 1))

您可以尝试以代数方式简化它，但您已经得到了 xi 的封闭式表达式。

【讨论】：

这仅适用于 i=0..1。对于 i >= 2 的值，它会返回永远不正确的负值。例如，如果 p=1000, J=0.8 它应该返回 [800, 160, 32, 4.8] 但它确实返回 [800, 160, -352, -761,6]。你能确认一下吗？
@luftgewehrindianer 在您的示例中，请考虑i = 3。你给出的表达式是p*J - p*J*J - p*J*J*J - p*J*J*J*J。当我在计算器中执行此操作时，我得到：1000*0.8 - 1000*0.8*0.8 - 1000*0.8*0.8*0.8 - 1000*0.8*0.8*0.8*0.8 = 800 - 640 - 512 - 409.6 = -761.6。对于i = 2，它会给出-352。所以，我要说的是：您提供的公式给出的值与我的表达式相同。我不能说你的公式是否适合你的目的。
@luftgewehrindianer （正如 tmyklebu 在您的问题的 cmets 中正确指出的那样，对于J < 1，您的表达式会收敛到p*J - p*J*J/(1-J)，或者在您的示例中大约是-2400 ......所以负值是很期待。
你当然是对的。我在我的问题中的公式犯了一个错误，并没有注意到它。我的错。这点属于你！