圆周相交算法

Question

我有一个点数组，其中（点）我知道坐标（在我的坐标平面中，x/y）。然后我有一个未知坐标点，但我知道从“已知”点到该点的距离。我正在寻找“未知”点坐标。应该是一种三角测量。

我考虑过用方程组来描述这种情况。

假设这个数据：

coord[n] basePoints;
double[n] dist;
coord result;

让 coord 像一个：

struct {
    double x,y;
};

现在，圆周方程是：

x^2 + y^2 + ax + bx + c = 0
where:
a = basePoint[i].x
b = basePoint[i].y
c = a^2 + b^2 + r^2
r = dist[i]

在这种情况下，我们需要 3 个点来准确确定结果点的位置，因此我们需要一个由三个方程组成的系统。问题是：是否有一些快速的方法来找出结果坐标，没有，有算法可以遵循吗？

编辑：

我在这里找到了我正在寻找的算法Trilateration using 3 latitude and longitude points, and 3 distances。

也非常感谢@hardmath 提供方法名称和维基百科文章。

Answer 1

重申问题：您有以basePoint[n] 为中心的n 圆，半径为dist[n]，已知它们有一个共同的交点。你想找到那一点。

选取前两个圆圈并找到它们的交点。有 1 或 2（或 0，但问题无解）。如果是1，那应该是答案。如果为 2，则与下一个圆圈消除歧义。您可以继续验证该点是否在所有其他圆圈上。

Answer 2

首先，你说你有 n 个点的坐标，以及到另一个点的距离（所以 n 距离）。

如果你只有 2 个点的坐标并且你有这 2 个坐标和第三个点（未知）之间的距离，比如 X(x,y)。

假设你的第一个点是 A(x1,y1)，你的第二个点是 B(x2,y2)

现在你想找到未知点 X(x,y)

你可以像这样得到A和x之间的距离

d1 = sqrt((x1-x)^2 +(y1-y)^2)

这里你已经知道 x1、y1 和 d

同样，B 和 X 之间的距离为

d2 = sqrt((x2-x)^2-(y2-y)^2)

所以通过这 2 个方程，您将得到 2 个线性方程，其中有 2 个此类未知变量

mx+ny - d1 = 0

 and 

 px+ qy - d2 = 0 

你可以解这两个方程得到点 X(x,y) 的 x 和 y 坐标。

您没有提到您使用的编程语言，但您可以使用您选择的任何编程语言来实现它。 您不需要 n 个点和 n 个距离来计算未知点，您可以只使用 2 个点来计算它。