使用堆排序可以在 Θ(log n) 时间内对多少个元素进行排序？ [关闭]

Question

使用堆排序可以在 Θ(log n) 时间内对多少个元素进行排序？

当我们进行堆排序时，为了构建堆，我们需要 Θ(n) 复杂度，然后进行堆排序 O(nlog n)。我理解这个概念。但是当涉及到我们这里的问题时，我们甚至无法在 Θ(log n) 时间内构建一个 n 个元素的堆。那么考虑输入大小 n 的答案是 O(1) 吗？

我还看到了一个不同的解释，它在考虑输入大小 logn 的情况下得出复杂度为 Θ(log n/log log n)。我也不完全遵循这种方法。那么哪个是正确答案，为什么？

Answer 1

我认为问题是“假设某处有一个已知的 n 值，作为 n 的函数的数组大小的渐近界是多少，其中使用 heapsort 对该数组进行排序将花费时间 Θ(log n)?”

随着 k 的增长，对具有 k 个元素的数组进行排序需要时间 Θ(k log k)。您想选择 k 使得 Θ(k log k) = Θ(log n)。选择 k = Θ(log n) 不一定有效，因为 Θ(k log k) = Θ(log n log log n) ≠ Θ(log n)。另一方面，如果你选择 k = Θ(log n / log log n)，那么排序的运行时间将是

Θ((log n / log log n) log (log n / log log n))

= Θ((log n / log log n) (log log n - log log log n))

= Θ(log n - log n log log log n / log log n)

= Θ(log n (1 - log log log n / log log n))

请注意，随着 n 趋于无穷大，1 - log log log n / log log n 趋于 1，因此根据需要，上述表达式实际上是 Θ(log n)。

因此，如果您尝试使用堆排序对大小为 Θ(log n / log log n) 的数组进行排序，作为 n 的函数，运行时间为 Θ(log n)。

希望这会有所帮助！

Answer 2

对 N 个元素进行排序，时间 = O(NlogN) 这基本上意味着，对每个元素进行排序将花费 O(logN) 时间