基于交换的排序算法交换次数的奇偶性答案

【问题标题】：Parity of the Number of Swaps of Swap-Based Sorting Algorithms基于交换的排序算法交换次数的奇偶性
【发布时间】：2020-09-12 08:59:29
【问题描述】：

如果我有一个从0 到n-1 的整数的排列，并且我想按升序对排列进行排序，那么无论是什么基于交换的排序方法都是真的吗使用时，在所有基于交换的排序方法中，排序所需的交换次数的奇偶校验是否相同？

例如，考虑我在下面提供的基于交换的排序方法，用 C++ 编写：

（注意：pos[i] 存储列表中元素“i”的当前索引（从 0 开始）

int cnt = 0; // stores the number of operations
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    if (pos[i] != i) {
      cnt++;
      int temp = a[i];
      int temp_pos = pos[i];
      swap(a[i], a[pos[i]]);
      pos[i] = i;
      pos[temp] = temp_pos;
    }
  }

与其他基于交换的排序方法相比，当在相同的排列上执行时，基于交换的排序算法（如上述算法）是否具有相同的排序所需交换数的奇偶校验？从0 到n-1 的整数？

【问题讨论】：

标签： c++ sorting c++11 permutation swap

【解决方案1】：

是的，这是真的。证明的草图是这样的。

元素序列中的反转是任何未按正确排序顺序的元素对：即，a[i] > a[j] 对某些i < j。完全排序的数组有零反转。交换任意两个元素会使反转的总计数改变奇数（这一点的证明留给读者练习）。因此，如果数组最初有奇数次反转，则必须执行奇数次交换才能对其进行排序；如果它以偶数次反转开始，则需要偶数次交换。

【讨论】：