准确的大 O 分析

Question

假设您需要生成前 N 个整数的随机排列。例如，{4, 3, 1, 5, 2} 和​​ {3, 1, 4, 2, 5} 是合法排列，但 {5, 4, 1, 2, 1} 不是，因为一个数 (1) 重复，而另一个 (3) 缺失。该程序常用于模拟 算法。我们假设存在随机数生成器 RandInt(i,j)，即 在 i 和 j 之间以相等的概率生成。以下是三种算法：

(i) 将数组 A 从 A[0] 填充到 A[N-1] 如下： 要填充 A[i]，生成随机数 直到你得到一个不在 A[0]、A[1]、...、A[i-1] 中的数字。

(ii) 与算法 (i) 相同，但保留一个称为 Used 数组的额外数组。当一个随机 数字 Ran 首先放入数组 A 中，设置 Used[Ran] = true。这意味着 用随机数填充 A[i] 时，可以一步测试，看是否 已使用随机数，而不是第一个算法中的（可能）i 步。

(iii) 填充数组使得 A[i] = i+1。那么

for (i=1; i<n; i++)
swap (A[i], A[RandInt(0,i)]);

尽可能准确 (Big-O) 分析每个算法的预期运行时间。

有人可以帮忙吗？因为我只是学习这一章，并不太明白问题想要什么..

Answer 1

我： 您必须填写 N 个插槽，但随着您不断填写，您获得有效数字的可能性较小。 如果您已填满 M 个插槽，则获得有效数字的机会为 1-(M/N)。此外，随着列表变长，您需要遍历整个事物。 N 个数字 * 每个槽的 O(N) 次猜测 * O(N) 检查是否已经包含数字 = O(N^3) （O(N) 检查每个号码，因为最坏的情况是最后一个号码，有 1/N 机会获得未使用的号码）

II：现在我们不必为每次检查遍历整个数组，所以只需 O(N^2)

III：交换需要恒定的时间，我们遍历整个数组一次，所以 O(N)

我认为我做对了所有这些，但我很容易错过了一些东西。 希望这会有所帮助。

Answer 2

选项 4：用从 1 到 n 的值填充列表/集合，然后对集合进行洗牌。 O(n) + ~O(n) => O(n)