两个列表元素求和比较的最小复杂度答案

【问题标题】：Minimum Complexity of two lists element summation comparison两个列表元素求和比较的最小复杂度
【发布时间】：2015-07-25 23:40:20
【问题描述】：

我有一个关于数组的算法设计问题，应该用 C 语言实现。假设我们有一个包含 n 个元素的数组。为简单起见，n 是“2”的幂，例如 1, 2, 4, 8, 16 , etc。我想用(n/2) 元素将它分成两部分。分离条件是 lowest absolute difference between sum of all elements in two arrays 例如，如果我有这个数组 (9,2,5,3,6,1,4,7) ，它将与这些数组 (9,5,1,3) 和 (6,7,4,2) 分开。第一个数组元素的总和是18，第二个数组元素的总和是19，差异是1，这两个数组是答案，但是像(9,5,4,2)和(7,6,3,1)这样的两个数组不是答案，因为元素总和的差异是4，我们找到了1。所以4 不是最小的区别。如何解决这个问题？谢谢。

【问题讨论】：

PS，为什么n的限制是2的幂？要拥有两个大小完全相同的子数组，您只需要 n 是偶数，而不是假设它是 2 的幂。
@amit 我认识这个朋友。但我认为在接下来的步骤中它将把它分成另一个部分，所以在这种情况下它需要一个 n
重复stackoverflow.com/questions/6597180/…
@therealprashant 不完全是骗子，因为这里对两个子集的基数有额外的限制（大小相同）
其实我应该说参考而不是重复。

标签： c arrays algorithm

【解决方案1】：

这是Partition Problem，不幸的是NP-Hard。

但是，由于您的数字是整数，如果它们相对较小，则存在使用 Dynamic Programming 的伪多项式 O(W*n^2) 解（其中 W 是所有元素的总和）。

这个想法是创建大小为(W/2+1)*(n+1)*(n/2+1)的DP矩阵，基于以下递归公式：

D(0,i,0) = true
D(0,i,k) = false     k != 0
D(x,i,k) = false     x < 0
D(x,0,k) = false     x > 0
D(x,i,0) = false     x > 0
D(x,i,k) = D(x,i-1,k) OR D(x-arr[i], i-1,k-1)

上面给出了一个 3d 矩阵，其中每个条目 D(x,i,k) 表示是否有一个子集正好包含 k 元素，总和为 x，并使用第一个 i 元素作为候选。

一旦你有了这个矩阵，你只需要找到最高的x（小于SUM/2）使得D(x,n,n/2) = true

稍后，您可以通过返回表格并在每个步骤中“追溯”您的选择来获得相关子集。 This thread 处理一个非常相似的问题。

对于小型集合，还有一种简单的蛮力解决方案的替代方案，它基本上将数组分成所有可能的一半（(2n)!/(n!*n!) 其中的一半），并从中挑选出最好的一个。

【讨论】：