路径图的最大权重独立集问题答案

【问题标题】：Maximum-weight independent set problem for a path graph路径图的最大权重独立集问题
【发布时间】：2019-05-23 21:56:35
【问题描述】：

在学习Algorithms: Design and Analysis II 课程时，其中一个问题是关于路径图的最大权重独立集问题。下图是问题陈述的（模糊）截图，YouTube上有相应的讲座视频：

https://www.youtube.com/watch?v=0awkct8SkxA

https://www.youtube.com/watch?v=pLOkbHGRsv0

https://www.youtube.com/watch?v=Im_zjFkZDCY

这个问题可以通过动态编程优雅地解决，只需要一行代码。

a[i] = max(a[i - 1], a[i - 2] + w[i])

问题如下：

以下哪项适用于我们的动态规划算法用于计算路径图的最大权重独立集？（假设没有关系。）

只要输入图至少有两个顶点，算法就永远不会选择最小权重的顶点。

算法总是选择最大权重的顶点。

如果一个顶点被排除在两个连续子问题的最优解之外，那么它就被排除在所有的最优解之外更大的子问题。

如果一个顶点被排除在子问题的最优解之外，那么它就会被排除在所有更大的最优解之外子问题。

事实证明，正确答案是#3，这有点直观，因为子问题的最优解仅取决于前两个子问题的解。但我不清楚为什么选项 1 和 2 不正确。由于该算法会查看所有顶点，因此这两个选项似乎也应该是正确的。

【问题讨论】：

如果要修改问题以找到具有 n 个顶点的循环 C 中的最大 IS，那么方程/解决方案将是什么 v1。 . . vn（对于每个 i
@RedApple 提出一个新问题，不要劫持这个问题。

标签： algorithm dynamic-programming graph-theory

【解决方案1】：

the algorithm never selects the minimum-weight vertex.

考虑：**3-100-4-1-5-100-6 选择最小值 1 是有意义的，因为我们要选择两个 100

The algorithm always selects the maximum-weight vertex.

考虑：5-99-100-99-7

排除最大值以支持到 99 是有意义的

对于这两个示例，请尝试了解该算法会做什么以及为什么会起作用。

推理这类问题的一个好方法是尝试 (0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,99,99,99,100,100,100) 的所有排列它应该为您提供大部分可能性。

【讨论】：

你的反例有关系，这是问题所不允许的。 a 的前三个条目将是 0、2 和 max(2, 0 + 2) - 最后一个是不允许的。
一旦我更好地理解了选择逻辑，我就能想出自己的反例。 10-2-1-4 选择 min 时，1-3-10-9 未选择 max 时。我会接受你的回答，因为它能让我更好地理解。

【解决方案2】：

这里的操作：为了完整起见，这是一个完整的答案，灵感来自@robert-king 的答案。

考虑路径10-2-1-4。算法选择的顶点是10, 1，其中1，最小值，被选中。因此，选项 1 不正确。

考虑路径1-3-10-9。算法选择的顶点是3, 9，其中最大的10没有被选择。因此，选项 2 不正确。

考虑路径1-9-7-1-5。算法选择的顶点是1, 7, 5。但是，7 并未包含在子问题1-9-7 的最优解中。注意，7 也没有包含在子问题1-9-7-1 的最优解中，因为它的前一个顶点“更重”，并且由于所有权重都是正的，所以下一个权重和更重的顶点之和肯定是大于7。因此，选项 4 不正确。

选项 3 是正确的。这源于归纳，因为子问题的最优解仅取决于前两个子问题的解。

【讨论】：