这个图嵌入是否可行？它有名字吗？

Question

我想将一个无向图投影到二维平面中，这样：

1. 欧几里得距离保持逐步距离（即如果A和B之间的最短路径比C和D之间的最短路径短，那么A和B之间的欧几里得距离小于A之间的欧几里得距离B)

2. 欧几里得距离和逐步距离之间的最小差异被最小化。理想情况下，如果没有唯一的最小值，则生成或描述一组解决方案。

如果这是不可能的，那么图上实现它的最小约束集是什么？总的来说，我对这个问题很感兴趣，尽管目前我希望它是一个有限晶格，并消除了它的最小值。

Answer 1

它叫做graph embeddng。甚至还有theorem that gives an upper limit to the distortion。我最喜欢的嵌入算法是SDE。如果您有 SDP 库，那么在任何语言上都可以轻松实现。

Here 是一种更简单的算法。

Answer 2

我认为第一个要求是不可能的，至少对于一般情况而言。考虑一个由四个节点组成的全连接图，所有路径长度都相等。在 2D 欧几里得空间中选择具有相同属性的四个点是不可能的（除了 4 个重合点）。

有关一些有用信息，请参阅 Diego 的回答（我的图论知识非常有限！）。