如何在任意四边形内内接矩形或圆形答案

【问题标题】：How can I inscribe a rectangle or circle inside an arbitrary quadrilateral如何在任意四边形内内接矩形或圆形
【发布时间】：2011-06-22 06:40:39
【问题描述】：

这可能是一个更注重数学的问题，但想在这里问是因为它是在 CS 环境中。我正在寻找在另一个（任意）四边形内内接一个矩形，内接四边形具有最大的高度和宽度。因为我认为算法会很相似，所以我想看看我是否也可以用圆圈来做到这一点。

为了更清楚地听到我所说的边界四边形作为例子的意思。

以下是我试图实现的 2 个铭文最大化示例：

我做了一些初步的搜索，但没有找到任何确定的东西。似乎某种形式的动态编程可能是解决方案。看来这应该是一个线性优化问题，应该比我发现的更常见，也许我在搜索错误的术语。

注意：对于内接正方形，假设我们知道我们正在寻找的目标 w/h 比（例如 4:3）。对于四边形，假设边不会交叉并且是凹形的（如果这样可以简化计算）。

【问题讨论】：

回复。圆圈：您可以将四边形视为截断三角形。 IE。对于四边形的每条边，使相邻边更长，直到它们相遇。在你的新三角形上画一个圆圈。检查它是否适合您的原始四边形。这样得到的最大圆应该是最优的。显然，您需要分别处理具有平行边的四边形。
如果您允许凸四边形和线段重叠的四边形，您可能很难处理任意四边形。你的意思是任意的凸四边形吗？
矩形也可以旋转，还是必须与“水平”平行？
内接的矩形不能旋转，这应该使它更容易一些。两侧不应重叠。我想我可以说外部四边形也将是凸的。我可以看到凹四边形如何使事情变得更加困难。
对于圆，有四个角平分线（四边形的每个顶点一个）。相邻的角平分线可以以四种方式配对，从而形成四个可能的圆心。选择通向最大圆圈的中心。对于给定纵横比的内接矩形，我相信这个问题可以简化为一个简单的线性规划问题。

标签： algorithm optimization graphics bounding-box linear-programming

【解决方案1】：

1) 圆圈。
对于三角形，这是来自学校计划的standard math question。
对于四边形，您会注意到最大内圆将至少接触它的三个边。所以，取三个边的每一个组合，并解决每个三角形的问题。
必须分别考虑平行边的情况（因为它们不形成三角形），但这并不是很困难。

2) 矩形。
你不能有“最大高度和宽度”，你需要选择另一个标准。例如，在您的图片上，我可以通过降低高度来增加宽度，反之亦然。

【讨论】：

对于圆形情况，穷举搜索将起作用，但请记住，这是 O(n!) 并且可能仅适用于小多边形。一个 20 边形的多边形将有超过 1100 种组合。
@payne 'quadrilateral' 通常暗示 n = 4 :)
当边平行时，第一个建议将不起作用，这很常见。它依赖于延伸边，直到它们相遇并形成一个三角形。如果平行，它们将不会相遇。
假设响应 2）您知道要保持的比例（例如 4:3）
@Scott 第一个建议可以正常工作，因为要找到内圆，您只需将两个角平分即可。

【解决方案2】：

4 年前的帖子，但我在谷歌上搜索我的问题时偶然发现了它。

我在当前的 CV 应用程序中遇到了这样的问题。我想出了一个简单但有点笨拙的解决方案来找到最大的。但并不完全相同，因为我在没有固定边比的情况下最大化了矩形的面积。

我还不知道我的解决方案是否找到了最佳方案，或者它是否适用于所有情况。我也认为应该有更有效的方法，所以我期待您的意见。

首先，假设一组 4 个点构成我们的（凸）四边形：

对于此过程，最左边的点是 P1，以下点按顺时针方向编号。它看起来像这样：

然后我们创建点之间的线性函数。对于每个函数，我们必须知道斜率 k 和到 0 的距离：d。 k 只是两个点的 Y 差除以 X 的差。 d 可以通过求解 d 的线性函数来计算。所以我们有

k=dy/dx
d=y1-k*x1

我们还需要反函数。

k_inv = 1/k
d_inv = -d/k

然后我们为四边形的每一边创建函数和反函数

        k        d                        k         d
p1p2    4       3           p1p2_inv    0.25    -0.75
p2p3    -0.67   7.67        p2p3_inv    -1.5    11.5
p3p4    7       -23         p3p4_inv    0.14    3.29
p4p1    0.6     -3.8        p4p1_inv    1.67    6.33

如果我们有完全水平或垂直的线，我们最终会在函数或逆函数之一中得到 DIV/0，因此我们需要单独处理这种情况。

现在我们遍历由两个函数包围的所有角，这些函数的 k 和斜率不同的符号。在我们的例子中，这将是 P2 和 P3。

我们从 P2 开始，以适当的步长迭代 P2 与 P1 和 P3 中较高的一个之间的 y 值，并使用反函数计算函数之间在水平方向上的距离。这会给我们矩形的一侧

a=p2p3_inv(y)-p1p2_inv(y)

在两个 x 值 x = p2p3_inv(y) 和 x = p1p2_inv(y) 处，我们然后计算 y 与两个相反函数的差异，并将到我们当前 y 位置的距离作为第二边的候选我们的矩形。

b_candidate_1 = y-p4p1(p2p3_inv(y))
b_candidate_2 = y-p4p1(p1p2_inv(y))
b_candidate_3 = y-P3p4(p2p3_inv(y))
b_candidate_4 = y-P3p4(p1p2_inv(y))

四个参数中较小的一个将是 b 面的解决方案。该区域显然变成了a*b。

我在excel中做了一个简单的例子来演示：

这里的最小b是6.9，所以解的右上角在p2p3上，矩形分别在水平方向和垂直方向向左和下延伸。

矩形的四个点就是这样

Rect    x       y
R1      0.65    -1.3
R2      0.65    5.6
R3      3.1     5.6
R4      3.1     -1.3

我将不得不将其放入 C++ 代码中，并运行一些测试以查看解决方案是否通用，或者这是否只是“运气”。

我认为也应该可以用函数替换 A=a*b 中的 a 和 b，并将其放入一个线性公式中，该公式必须在 p1p2 仅在 P1 和 P2 之间定义等条件下最大化。 ..

【讨论】：

我认为您的问题可以概括为一个简单的quadratic programming 问题。