如何从立方体的最大和最小坐标值计算四元数？

Question

我在创建立方体的方向时遇到了一些问题（ROS 中检测到的对象的边界框）。我知道最大和最小坐标值（xmin、xmax、ymin、ymax、zmin、zmax）。所以，我可以很容易地找到 Bounding BOX (Cube) 的对象的顶点，它们是

[xmin ymin zmin; 
 xmax ymin zmin; 
 xmax ymax zmin; 
 xmin ymax zmin;
 xmin ymin zmax; 
 xmax ymin zmax; 
 xmax ymax zmax;
 xmin ymax zmax]

现在如何从这些顶点创建四元数以获得边界框的方向？我知道四元数是一组 4 个数字 [x y z w]，它表示旋转方式如下：

// RotationAngle is in radians
x = RotationAxis.x * sin(RotationAngle / 2)
y = RotationAxis.y * sin(RotationAngle / 2)
z = RotationAxis.z * sin(RotationAngle / 2)
w = cos(RotationAngle / 2)

在知道对象的顶点（在我的例子中是立方体或 3D 矩形）时如何获得 RotationAxis 和 RotationAngle？ 谢谢

Answer 1

（我不知道 ROS 是什么，但这里是对您问题的抽象讨论。）

首先，“轮换”从“从”状态开始，以“到”状态结束。你知道你的“to”状态，但你必须指定“from”状态。假设您的盒子以默认状态开始，一个角位于 (0, 0, 0)，另一个角位于 (1, 1, 1)。

这个默认的盒子状态，就像你的最后一个是“轴对齐”盒子。现在，盒子可能旋转了 90、180 或 270 度，但如果盒子的不同面彼此没有区别，这可能无关紧要。这个场景会有一个 0 度的旋转，代表这个旋转的四元数被简单地计算为 (0, 0, 0, 1)。您仍然需要缩放和平移（计算起来也很简单）才能从默认状态变为 BB，但不需要旋转。

现在，如果面孔实际上不同，那么我们确实会进行旋转。让我们称之为“轴对齐旋转”或 AAR，它可以将默认框带入 24 种不同状态中的任何一种。可以这样想：旋转轴可以是任一方向（+x、-x、+y、-y、+z、-z）的 6 个基向量中的任何一个，角度可以是 0、90、 180 或 270 度（6 * 4 为 24！）

当您这样考虑时，每种情况都完全定义了一个易于构建的旋转四元数。那么问题就变成了在我们拥有的 24 个旋转中寻找。

我可以为此想到两个心智模型：要么为你的盒子选择一个“正面”面和一个“顶”面，然后找出它们最终处于“to”状态的位置（“front”和“顶部”有 4 个位置。）或者您可以选择一个“原点”顶点和一个“邻居”顶点并找到它们最终的位置（“原点”有 8 个位置，“邻居”有 3 个位置。）在任何一种情况下，您都可以可能会有一个包含 24 个条目的表来预先计算的四元数，您可以根据自己的“旋转”从中选择。

Answer 2

您使用最小值和最大值创建边界框的方式会导致边界框与 x、y 和 z 轴对齐。因此，它没有任何旋转，其四元数为 [0, 0, 0, 1]。

如果您知道哪个顶点与立方体/矩形的哪个角相关，那么获取随机方向的立方体或矩形的旋转矩阵并不复杂。然后，您可以只使用两个垂直边作为对象坐标系中的 x 和 y 轴。标准化这些向量后，您可以通过构建 x 和 y 向量的叉积来在对象框架中创建 z 轴。 3x3 旋转矩阵的列就是这三个向量：

    | x_0  y_0  z_0 |
R = | x_1  y_1  z_1 |
    | x_2  y_2  z_2 |

您可以在互联网上搜索资源以从旋转矩阵中获取旋转轴和四元数。

对于一般对象，如果在对象坐标系中的两个垂直轴上有点的顶点，则可以使用相同的方法。如果您不知道顶点的对象框架中的 corespondig 点，它会变得更加复杂。如果您的顶点均匀地覆盖您的对象（例如，来自 3D 相机或激光扫描的顶点），您可以使用主成分分析来查找顶点的主轴。这些轴形成旋转矩阵的列（确保主轴形成右手框架，即旋转矩阵的行列式为 +1）。

如果这些方法也不适用于您，您可以搜索点云上下文中的姿态估计方法（例如：点云库PCL、Open3D）。

Answer 3

提取 OBB 的代码（来自教程）：

pcl::MomentOfInertiaEstimation <pcl::PointXYZ> feature_extractor;
feature_extractor.setInputCloud (cloud);
feature_extractor.compute ();

pcl::PointXYZ min_point_OBB;
pcl::PointXYZ max_point_OBB;
pcl::PointXYZ position_OBB;
Eigen::Matrix3f rotational_matrix_OBB;
Eigen::Vector3f major_vector, middle_vector, minor_vector;
Eigen::Vector3f mass_center;

feature_extractor.getOBB (min_point_OBB, max_point_OBB, position_OBB, rotational_matrix_OBB);
feature_extractor.getEigenVectors (major_vector, middle_vector, minor_vector);
feature_extractor.getMassCenter (mass_center);

所以要获得最终的 OBB - 坐标：

Eigen::Vector3f p1 (min_point_OBB.x, min_point_OBB.y, min_point_OBB.z);
Eigen::Vector3f p2 (min_point_OBB.x, min_point_OBB.y, max_point_OBB.z);
Eigen::Vector3f p3 (max_point_OBB.x, min_point_OBB.y, max_point_OBB.z);
Eigen::Vector3f p4 (max_point_OBB.x, min_point_OBB.y, min_point_OBB.z);
Eigen::Vector3f p5 (min_point_OBB.x, max_point_OBB.y, min_point_OBB.z);
Eigen::Vector3f p6 (min_point_OBB.x, max_point_OBB.y, max_point_OBB.z);
Eigen::Vector3f p7 (max_point_OBB.x, max_point_OBB.y, max_point_OBB.z);
Eigen::Vector3f p8 (max_point_OBB.x, max_point_OBB.y, min_point_OBB.z);

p1 = rotational_matrix_OBB * p1 + position;
p2 = rotational_matrix_OBB * p2 + position;
p3 = rotational_matrix_OBB * p3 + position;
p4 = rotational_matrix_OBB * p4 + position;
p5 = rotational_matrix_OBB * p5 + position;
p6 = rotational_matrix_OBB * p6 + position;
p7 = rotational_matrix_OBB * p7 + position;
p8 = rotational_matrix_OBB * p8 + position

卜rotational_matrix_OBB怎么获得？