为什么我们不能总是选择带有大 O 符号的最大项？答案

【问题标题】：Why can't we always just pick the biggest term with big-O notation?为什么我们不能总是选择带有大 O 符号的最大项？
【发布时间】：2019-04-01 02:57:30
【问题描述】：

我正在看《Cracking the Coding Interview 6th edition》第 49 页，示例 8。

假设我们有一个算法，它接收一个字符串数组，对每个字符串进行排序，然后对整个数组进行排序。运行时是什么？

如果最长字符串的长度是s，数组的长度是a，书上说对每个字符串进行排序是：

O(a*s log s)

我的理解是复杂度取决于这种情况下的上限，所以应该是：

O(s log s)

例如，如果s 是最长字符串的长度，s1、s2、s3 是其他字符串的长度，则复杂度为：

O(s log s + s1 log s1 + s2 log s2 + s3 log s3)

最终是：

O(s log s)

因为s 的值最高。为什么我们需要与a相乘？

【问题讨论】：

O(a*s log s) 表示运行时间受该时间限制，它不一定等于a*s log s - 如果每个字符串的长度为 s，就会发生这种情况。大 O 代表最坏的情况。当您使用 Big O 分析时间复杂度时，您需要考虑最坏的情况。
我明白我在这里感到困惑。感谢您的回复。

【解决方案1】：

只有在数量不变的情况下，您才能忽略较小的术语。

忽略较小项的能力实际上源于您可以忽略常数因子，但这仅在您具有恒定数量的较小项时才有效（否则常数因子不会是常数）。

直观地说：

如果你有 50000000000 个长度为 10 的字符串怎么办？ 10 log 10 的某些预定义因子听起来不适合运行时间，您需要在某处使用 50000000000。

数学上：

假设您有f(n) + g(n)，其中g(n) 小于f(n)，因为n 趋于无穷大。

你可以这样说：

f(n) <= f(n) + g(n) <= f(n) + f(n) = 2.f(n)    (as n tends to infinity)

现在您已经取消了g(n)，对于f(n)，1 和2 之间只有一个常数因子，您可以用渐近符号忽略它，因此复杂度就是 O(f(n))。

如果您有一个可变数量的术语a，那么您将拥有a.f(n)，并且您不能忽略a。

a.f(n) = O(f(n)) 的证明（至少有一种证明方法）涉及选择一个常数 M，使得 |a.f(n)| <= M.f(n) 从某个值 n 开始。无论您选择M 的哪个值，总是可以存在更大的a（只有M+1 可以），因此这个证明失败了。

【讨论】：

【解决方案2】：

正如 Dukeling 所指出的，a 和 s 都是这里的参数。

所以你的算法的运行时间取决于两者。如果没有有关两者之间关系的更多信息，您将无法进一步简化。例如，这听起来不像是a < s。

但是说你得到了a < s。那么你可以说因为你的O(s log s)排序操作需要执行a = O(s)次才能对数组中的所有字符串进行排序，所以总数是O(s^2 log s)。

【讨论】：