解决python中的非线性装箱优化问题答案

【问题标题】：Solving nonlinear bin packing optimization problem in python解决python中的非线性装箱优化问题
【发布时间】：2021-01-04 13:34:47
【问题描述】：

是否有直接的方法（例如带有常用求解器的某些模块）来解决 Python 中众所周知的装箱问题（例如参见 https://en.wikipedia.org/wiki/Bin_packing_problem）衍生的问题？

详细来说，装箱问题，其中 s(i) 是物品的重量

minimize K = sum_j y_j                    # use as less bins as possible
s.t. sum_i s(i)x_i,j <= B*y_j for all j   # bin capacity B must not be exceeded
     sum_j x_i,j = 1 for all i            # all items have been fit in exactly one bin
     x_i,j, y_j being integer variables in {0,1}

应扩展到以下目标函数 K_nonlinear

minimize K_nonlinear = sum_j (y_j + Std({s(i)}) for all x_i,j =1)
s.t. # the same constraints as the bin packing problem (above)

因此，不仅要尽量减少使用的 bin 数量，还要尽量减少共享 bin 的选定项目的标准偏差（这通常会导致一些必要的妥协）。因此，我认为这个问题是非线性的。

感谢任何关于如何使用 python 解决这个问题的建议（python api 就足够了，算法本身也可以用任何其他语言实现）。

到目前为止，我已经尝试扩展现有的装箱求解器（基于 Coin-or 分支和切割求解器）关于目标函数中的附加部分，但失败了。这可能是由于诱导的非线性。

在此先感谢

【问题讨论】：

标签： optimization constraints bin-packing non-linear discrete

【解决方案1】：

与其使用标准差，不如将范围最小化可能更容易：max-min。这可以以线性方式表示：

  Minimize xmax-xmin
  xmax >= x[i]  for all i
  xmin <= x[i]  for all i

【讨论】：

感谢您的意见。我不确定是否期望纯线性目标函数的求解器能够处理这个问题，因为 max 和 min 可以用绝对值表示（例如 max(a,b) = 0.5*(a+b + ( ab)) ) ，因此不能被认为是线性的。有什么想法可以从那里继续吗？
minimize max(a,b)-min(a,b) 可以很容易地线性化为：minimize xmax-xmin subject to xmax≥a, xmax≥b, xmin≤a, xmin≤b
现在说得通了。如答案中所述，您引入了两个附加变量（“辅助变量”）xmax 和 xmin 以及两组附加约束。完美，谢谢！