轮廓上的复杂积分答案

【问题标题】：Complex integration over a contour轮廓上的复杂积分
【发布时间】：2013-01-29 10:02:03
【问题描述】：

我知道这不完全是一个编程问题，但我一直在试图哄着 Matlab 和 Mathematica 为我解决这个问题。这是一个复杂变量类练习考试的问题。任何帮助或指导我可能会在哪里找到一些东西，将不胜感激。

我尝试了许多不同的方法，但我似乎无法弄清楚... WolframAlpha 需要很长时间来计算它（即使 Pro 延长了计算时间）。 Mathematica 不喜欢它，Matlab 给了我一些令人发指的恶心表达......

数学代码：

Integrate[(z^2 + 4)/(z^3 - 5), z, (2 - i), (2 + 2 i)]

Matlab 代码：

int((z^2 + 4)/(z^3 - 5), z, (2 - i), (2 + 2*i))

显然，为了简化计算，应该对此进行某种操作，但我只是不确定从哪里开始...... 我可以说这个积分大于z^2/z^3 = 1/z的积分然后改变积分变量吗？不知道大家怎么看？

再一次，我知道这不完全是编程，但我发现这个网站上的人是最聪明的，我想我可以试一试。

【问题讨论】：

首先，Mathematica 中虚构的i 是I。积分限制应采用以下形式：{z, from, to}。所以要计算的 Mathematica 代码是：N[Abs[Integrate[(z^2 + 4)/(z^3 - 5), {z, 2 - I, 2 + 2 I}]]].
您不一定需要评估积分来证明不等式。我什至认为这不是要求的。也许他们可以在 Math.SO 为您提供帮助？
我投票决定将此问题作为题外话结束，因为正如 OP 承认的那样，正如答案所示，这与编程无关。
如果您无法让Matlab 为您符号求解复积分，您可以在R2 中编写代码并进行数值求解。这是要记住的事情。否则，是的，作业数学问题转到 Math.SE。您也可以尝试询问特定于集成的问题。

标签： matlab math wolfram-mathematica integration

【解决方案1】：

手工集成

如果您想手动集成它，我建议您使用 partial fraction expansion 将分数变成更容易集成的部分。

近似积分

考虑 z 的绝对值。

z 从 2-i 变为 2+2i，因此它的绝对值将介于 2（当它位于 2+0i 时）和 sqrt(8)（当它位于 2+2i 时）之间。

这意味着：

4
绝对值 z^2+4 将始终为
并且 z^3-5 的绝对值将始终 >= 3

结合这两者，我们可以推断出被积函数的绝对值将始终为

这让我们得出结论，积分的绝对值必须

【讨论】：

【解决方案2】：

请注意，在复平面上绘制的等高线是从 (2,-1) 到 (2,2) 的垂直线。也就是说，在 Mathematica 中，您可以将积分写为：

z = x + I y;
x = 2;
int = Integrate[ ((z^2 + 4)/(z^3 - 5), {y,-1,2}];
N@Abs@int
(* Out[]:= 2.08808 *)

注意，您需要使用 I 作为 Mathematica 中的虚数。这个结果，其实还不到 12：

N@Abs@% <= 12
(* Out[]:= True *)

【讨论】：

【解决方案3】：

最好使用 ML 定理（countour 的三角不等式）。积分小于 M，即沿轮廓的 f(z) 的模的最大值乘以路径长度的 L。路径是一条长度为 3 的直线，如在复平面中所见。最大模数是 2 x sqrt(2)（从原点到 2+2i，最小模数是 sqrt(5)，从原点到 2-i。M 很容易通过将分子取大而分母取小来计算） f(z) 的模数小于 12（因为 5 x sqrt(5) 大于 8）。所以这个问题不用计算积分就解决了。

【讨论】：