计算不规则物体的精确体积答案

【问题标题】：Calculating exact volume of an irregular object计算不规则物体的精确体积
【发布时间】：2018-01-21 09:41:30
【问题描述】：

对于一个作业，我必须使用数值积分技术来计算圆柱表面的体积

Ω={(x,y,z) 在 R³ 中，(x−0.5)² +(y−0.5)² ≤ 0.5² 并且 0 ≤ z ≤ |ln(x+y)|}。

我使用蒙特卡洛技术来计算体积。但为了确保答案是正确的，我想使用 Maple 检查确切的音量。我一直在网上搜索如何做到这一点，但找不到它。

所以问题是，有没有一种方法可以使用 Maple 为该对象或积分计算精确的体积这个：

【问题讨论】：

我投票结束这个问题，因为它是一个数学问题，而不是一个编程问题。
这个问题是要求“数值积分技术”还是“精确体积”？这两个是不同的。另外，自然对数周围是否应该有一个绝对值？它在积分图形中，但不在突出显示的文本中。
在 Mathematica 中，我将 x 从 0 积分到 1 并在内部将 y 从 0 积分到 sqrt(1-x^2) （我可能有点错误，但这是一般的想法)。
@RoryDaulton 绝对值必须存在。正如我所描述的，我使用数值积分技术来计算体积，现在要检查我的结果是否正确，我想使用 Maple 来计算确切的体积。计算精确值的另一个原因是要知道需要多少随机点才能接近精确结果。 JohnColeman Maple 是用来编程的，还是我错了？
@user3466563 当然 Maple 用于编程。但简单地调用它的集成函数并不是对 Maple 进行编程。 Stack Overflow maple 标签与 Maple programming 相关（使用其内置的编程语言）。我怀疑您并没有尝试在 Maple 中编写实际程序。如果您熟悉 Excel，那么简单地使用内置的电子表格函数和使用 VBA 编写自己的函数是有区别的。

【解决方案1】：

体积是的积分

V = int_0^1 
        int_{0.5-sqrt(0.5^2-(x-0.5)^2)}^{0.5+sqrt(0.5^2-(x-0.5)^2)} 
            int_0^{abs(log(x+y))} 
                1 dz dy dx

或者，在变量改变之后，

V = int_-1^1
        int_{-sqrt(1-x^2)}^{+sqrt(1-x^2)}
            0.25 * abs(log(x/2+y/2+1)) dy dx

计算机代数系统可以计算出的值

V = 0.25502

【讨论】：