为什么减小 np.linspace 的范围会提高数值积分的准确性？答案

【问题标题】：Why does decreasing the range of np.linspace increase the accuracy of numerical integration?为什么减小 np.linspace 的范围会提高数值积分的准确性？
【发布时间】：2020-01-25 17:00:23
【问题描述】：

阅读关于简单数值积分的教程 (https://helloacm.com/how-to-compute-numerical-integration-in-numpy-python/)，这似乎表明减小函数中使用的 x 值的范围会返回更准确的数值答案。使用的代码是

def integrate(f, a, b, N):
    x = np.linspace(a, b, N)
    fx = f(x)
    area = np.sum(fx)*(b-a)/N
    return area

integrate(np.sin, 0, np.pi/2, 100)

这将返回一个值 0.99783321217729803。

但是，当他们将集成方法修改为：

def integrate(f, a, b, N):
    x = np.linspace(a+(b-a)/(2*N), b-(b-a)/(2*N), N)
    fx = f(x)
    area = np.sum(fx)*(b-a)/N
    return area

integrate(np.sin, 0, np.pi/2, 100)

这将返回更准确的值 1.0000102809119051。为什么会这样？

【问题讨论】：

也许我读错了，但看起来步数保持不变，所以减小范围实际上会减小步长 -> 更准确
但是改变积分范围不会改变答案吗？将 sin(x) 从 0 积分到 pi/2 = 1，但是从 0+k 积分到 pi/2-k
你改变了采样点的范围，而不是积分范围：在你的area计算中你仍然使用(b-a)，但是你在第二种情况的区间中有更多的点
采样范围与积分范围有何不同？我会认为他们的意思是一样的。
在第一种情况下，样本相对于积分箱的位置会发生变化。它从最左边的 bin 的左端开始，并以小步长向右移动。当到达最右边的 bin 时，它将移动到最右边的 bin 端。第二种情况在其中心对每个 bin 进行采样。（这是二元线性被积函数的最佳位置。）

标签： python numpy numerical-integration

【解决方案1】：

两件事：

第一个integrate 中的步长不是(b-a) / N，而是(b-a) / (N-1)。
在您的第一种方法中，误差主要由左右半条超调引起，即(b-a)/(N-1)/2 * f(a) 和(b-a)/(N-1)/2 * f(b)。如果您减去这两个，您将获得与第二种方法相当的准确度。

【讨论】：