我正在尝试解决以下问题。我对Affine transformations 了解不多。谁能帮我回答这个问题：
找到一个 3x3 矩阵，表示齐次坐标的 2D 仿射变换（即每个点 [x,y] 表示为列向量 [x, y, 1]），它将正方形 [0,0],[1,0],[1,1],[0,1] 转换为平行四边形 [0,1],[1,1],[2,2],[1,2]。
【问题讨论】：
我发现关于这个问题的事情
1）你需要了解homogeneous co-ordinates
2）你需要知道行和列专业的区别 - read here
3) 你需要知道基本的仿射变换 - 旋转、缩放/剪切和平移以及如何在矩阵中表示它们 - read this page
有趣的是，我认为答案只需要平移和剪切（无需旋转）。
查看源点和目标点，看起来所有目标点都在 y 中平移了 +1，在 X 中被剪切了 1（为了给出平行四边形，最好把它画出来看看我的意思）
所以从 3 * 3 identity matrix 开始
1 0 0
0 1 0
0 0 1
剪切将是
1 1 0
0 1 0
0 0 1
翻译将是
1 0 0
0 1 1
0 0 1
所以放在一起应该是
1 1 0
0 1 1
0 0 1
我通常不使用列专业，所以可能值得仔细检查！
希望对你有帮助
【讨论】：
仿射变换是 x ⟼ Ax + b 形式的变换，其中 x 和 b 是向量，A 是方阵。在几何上，仿射变换将平行四边形映射到平行四边形，并保持沿线的相对距离。
为了解决这样的问题，我们首先注意到对于原点，我们有 0 ⟼ A0 + b = b。由于问题告诉我们 [0,0] ⟼ [0,1]，我们知道 b = [0,1]。
接下来我们从线性代数中回忆起，将矩阵乘以标准基向量 [0,1] 和 [1,0] 分别简单地提取矩阵的第一列和第二列：
[a b] [1] = [a], [a b] [0] = [b].
[c d] [0] [c] [c d] [1] [d]
我们得到 [1,0] ⟼ [1,1] 和 [0,1] ⟼ [1,2]。由此我们得到
[1,1] = A[1,0] + b = [a,c] + [0,1] ⟹ [a,c] = [1,0],
[1,2] = A[0,1] + b = [b,d] + [0,1] ⟹ [b,d] = [1,1].
这给了我们仿射变换
Ax + b = [1 1] x + [0].
[0 1] [1]
齐次坐标是一种技巧，它可以让我们将仿射变换写成矩阵，只需一个额外的坐标，始终设置为 1。矩阵公式是
[A b] [x] = [Ax+b].
[0 1] [1] [ 1]
这里A其实是一个2×2矩阵，而b和x是2-vector，左下角的0其实是[0 0]。所以总的来说，我们处理的是一个 3×3 矩阵和 3 个向量。
所以我们的解决方案是
[1 1 0]
[0 1 1],
[0 0 1]
为了更好地衡量，我们检查它是否适用于最后一点：
[1 1 0] [1] [2]
[0 1 1] [1] = [2].
[0 0 1] [1] [1]
【讨论】：
当然，您已经阅读了有关该主题的 Wikipedia 页面。
大约很久以前，我读过Foley and van Dam 的早期版本之一（应该是 1983 年或 1984 年），它涵盖了使用增强矩阵和向量操作 2D 和 3D 坐标的技术，如这个问题。然而，从那时起已经过去了足够长的时间，我已经忘记了所有的细节（并且不再拥有这本书——搬家太多了）。纽曼和斯普劳尔也有一本书，我似乎记得。
A = [ a b c ] B = [ 0 1 1 0 ] C = [ 0 1 2 1 ]
[ d e f ] [ 0 0 1 1 ] [ 1 1 2 2 ]
[ g h 1 ] [ 1 1 1 1 ] [ 1 1 1 1 ]
B的列代表正方形的角； C的列代表平行四边形的角；并且必须求解矩阵方程 A x B = C。 IIRC，矩阵 A 的右下角为 1；值 c、f、g 和 h 也可能具有预定值（它们可能为零）。非零值应用线性（仿射）变换、缩放、剪切和旋转输入形状。
您需要在教科书中查找类似信息。或者在 Wiki 页面中 - 我没有仔细看（上面的信息来自古代记忆）。
【讨论】：
我只想指出，四点过度约束了 2D 仿射变换。在 Jonathan Leffler 的评论中，您可以从需要反转非方阵的事实中看出这一点。所以，要么选择三个点，要么建立一个最小二乘系统。过度约束的最小二乘解可以用以下矩阵求解
A = [ a b c ] B = [ 0 1 1 0 ] C = [ 0 1 2 1 ]
[ d e f ] [ 0 0 1 1 ] [ 1 1 2 2 ]
[ g h 1 ] [ 1 1 1 1 ] [ 1 1 1 1 ]
所以使用正规方程求解得到
A B = C
(A B)^T = B^T A^T = C^T
B B^T A^T = B C^T
A^T = (B B^T)^-1 B C^T
撤消转置给出的结果
A = ((B B^T)^-1 B C^T)^T
【讨论】：