查找递归函数的时间和空间复杂度

Question

我在分析递归函数的时间和空间复杂性时磕磕绊绊：

考虑：

def power(a, n):
    if n==0:
        return 1
    else:
        return a*power(a, n-1)

当找到这个的时间复杂度时：我认为T(n) = c + T(n-1) 其中 c 是乘法的常数成本。

这可能会导致：c*n 成本，即线性成本 O(n)。但是递归的成本通常是指数级的。

另外，考虑这个函数：

def power(a,n):
    if n==0:
        return 1
    if n%2 ==0:
        return power(a*a, n//2)
    else:
        return a*power(a*a, n//2)

上述函数将一直持续到：T(n) = c + T(n/2)，这意味着成本将是 c*log(n) 表示 log(n) 复杂度。

如果分析正确，那么递归看起来和迭代算法一样快，那么开销从何而来，是否有任何指数递归算法？

Answer 1

递归的复杂性是指数级的，这是不正确的。事实上，有一个定理，每个递归算法都有一个迭代类似物，反之亦然（可能使用额外的内存）。有关如何执行此操作的说明，请参见 here 例如。还可以查看维基百科中比较 recursion and iteration 的部分。

当递归函数在其某些流程中多次调用自身时，您可能会遇到指数复杂度，就像斐波那契数的著名示例一样：

def fib(n):
   if n < 2:
       return 1
   return fib(n - 1) + fib(n - 2)

但这并不意味着没有更快的递归实现。例如使用memoization，您可以将其归结为线性复杂度。

仍然递归实现确实有点慢，因为堆栈帧应该在进行递归调用时存储，并且在返回值时应该恢复。