“嵌套”递归函数的时间和空间复杂度

Question

在之前的一篇cs考试介绍中有一个问题：计算函数f1的空间和时间复杂度作为n的函数，假设malloc(n)的时间复杂度是O(1)，它的空间复杂度为 O(n)。

int f1(int n) {
    if(n < 3)
        return 1;

    int* arr = (int*) malloc(sizeof(int) * n);
    f1(f1(n – 3));
    free(arr);

    return n;
} 

官方的解法是：时间复杂度：O(2^(n/3))，空间复杂度：O(n^2)

我试图解决它，但我不知道如何解决，直到我在笔记本上看到一条注释：既然函数返回 n，那么我们可以将 f(f(n-3)) 视为 f(n-3 )+f(n-3) 或 2f(n-3)。在这种情况下，问题变得与这个问题非常相似：Space complexity of recursive function

我试着用这种方法解决它，我得到了正确的答案。

对于时间复杂度：

T(n)=2T(n-3)+1 , T(0)=1

T(n-3)=2T(n-3*2)+1

T(n)=2*2T(n-3*2)+2+1

T(n-3*2)=2T(n-3*3)+1

T(n)=2*2*2T(n-3*3)+2*2+2+1

...

T(n)=(2^k)T(n-3*k)+2^(k-1)+...+2^2+2+1

n-3*k=0

k=n/3

===> 2^(n/3)+...+2^2+2+1=2^(n/3)[1+(1/2)+(1/2^2) +...]=2^(n/3)*常数

因此我得到了 O(2^(n/3))

对于空间复杂度：树的深度是 n/3，每次我们做 malloc 所以我们得到 (n/3)^2 因此 O(n^2)。

我的问题：

• 为什么我们可以将 f1(f1(n – 3)) 视为 f1(n-3)+f1(n-3) 或 2f1(n-3)？
• 如果函数没有返回n而是改变了它，例如：return n/3而不是return n，那我们该如何解决呢？我们是否将其视为 2f1((n-3)/3)？
• 如果我们不能总是将 f1(f1(n – 3)) 视为 f1(n-3)+f1(n-3) 或 2f1(n-3) 那么我们如何绘制递归树和我们如何使用归纳法 T(n) 编写和求解？

Answer 1

• 为什么我们可以将 f1(f1(n – 3)) 视为 f1(n-3)+f1(n-3) 或 2f1(n-3)？

  因为 i) 嵌套的f1首先被求值，它的返回值被用来调用外部的f1；所以这些嵌套调用等价于：

  int result = f1(n - 3);
  f1(result);
  

  ...和ii) f1 的返回值只是它的参数（基本情况除外，但渐近无关），所以上面进一步等价于：

  f1(n - 3);
  f1(n - 3); // result = n - 3
  

• 如果函数没有返回n而是改变了它，例如：return n/3而不是return n，那我们该如何解决呢？我们是否将其视为 2f1((n-3)/3)？

  只有外部调用受到影响。同样，使用之前的等效表达式：

  f1(n - 3); // = (n - 3) / 3
  f1((n - 3) / 3);
  

  即以 f1(n - 3) + f1((n - 3) / 3) 为例。

• 如果我们不能总是将 f1(f1(n – 3)) 视为 f1(n-3)+f1(n-3) 或 2f1(n-3) 那么我们如何绘制递归树以及我们如何使用归纳方法 T(n) 编写和求解它？

  你总是可以像上面那样将它们分成两个单独的调用，再次记住只有第二个调用会受到返回结果的影响。如果这与n - 3 不同，那么您将需要一个递归树而不是简单的扩展。要看具体问题，不用多说。