查找表格中的最小距离答案

【问题标题】：Finding the minimum distance in a table查找表格中的最小距离
【发布时间】：2012-06-11 10:23:53
【问题描述】：

我有一张尺寸为 m * n 的表格，如下所示

2    6    9    13
1    4    12   21
10   14   16   -1

关于这张表的一些限制：

每行中的元素按升序排序（自然订购）。
A -1 表示该单元格对于计算，即那里不存在任何元素。
-1 之后的行中不能出现任何元素。
所有单元格可以有一个介于 0 和 N 之间的正数或一个 -1。
没有两个单元格具有相同的正数，即 -1 可以出现多次，但没有其他号码可以。

问题：我想从表中找到一组包含 n 个数字的 S，其中该集合必须只包含每一行中的一个数字，并且 max(S) - min(S) 尽可能小。

例如上表给了我 S = 12,13,14。

如果能解决这个问题，我将不胜感激。我的解决方案很复杂，需要O(m^n) 这太多了。我想要一个最佳的解决方案。

【问题讨论】：

空间、时间或准确性方面的最佳解决方案？或所有这些。
就时间而言的最佳解决方案。准确是必须的（即我想要突出显示的东西并且对此没有妥协）
@dharam：这是一个有趣的问题。你为什么要解决它？它是如何产生的？
@Tom：我是一个更大问题的一部分......问题是在字符串中找到出现一系列字符的最小窗口......示例：考虑一个字符串“abzyxcdcbgahjkcbabghjcbja " 并且我想以任何顺序找到序列 "abc"。唯一的标准是窗口应该有最小长度。对于本例，窗口长度为 3，序列按 cba 顺序发生

标签： algorithm minimum

【解决方案1】：

这是我可以证明有效的蛮力 O((m*n)^2 * nlog(m)) 算法：

min <- INFINITY
For each 2 numbers in different rows, let them be a,b
   for each other row: 
        check if there is a number between a and b
    if there is a matching number in every other row:
        min <- min{min,|a-b|}

解释：
检查a和b之间是否有数字可以使用二进制搜索来完成，并且是O(logm)
O((n*m)^2) a,b 有不同的可能性。

这个想法是彻底检查产生最大差异的对，并检查它是否给出了“可行”的解决方案（该解决方案中的所有其他元素都在范围 [a,b] 内），并得到最小化的对所有“可行”解决方案之间的区别。

编辑：删除了我提出的第二个解决方案，这是贪婪和错误的。

【讨论】：

您好，感谢您的回复。请参阅我的方法：对于第一行中的元素 e1，我在第 2 行中找到元素 e2，这样 |e1-e2|是最小值。然后对于 e2 找到第 3 行中的元素 e3 使得 |e2-e3|是最小值。对第 1 行中的所有元素重复此操作，您将得到各组 n 个数字。在每组中检查值 max(s) - min(s)。所有这些值中的最小值就是您的答案。但是如何在程序中转换它是我的实际问题。
@dharam：这个解决方案绝对是错误的：line1=5,-1,... ;第 2 行 = 3,6,-1,...;第 3 行 = 2,8,-1,...;第 4 行=1,10,-1,...;建议的解决方案将返回 {5,6,8,10}，而最佳解决方案是 {5,3,2,1}。对于这种情况，我建议的第二个解决方案也失败了（我将删除第二个解决方案）。
我们不考虑-1。
@dharam：我知道，看看这个例子——它没有考虑到它，它是提议算法的一个反例。
得到了你。你是绝对正确的。我的解决方案在这种情况下不起作用。我正在尝试编写您的解决方案，但我很难。 :(

【解决方案2】：

将每行的所有第一个元素的位置放入优先队列（最小堆）。
从队列中移除最小的元素，并将其替换为同一行中的下一个元素。
重复第 2 步，直到某行中不再有与“-1”不同的元素。计算每次迭代的 max(S) - min(S)，如果它小于任何先前的值，则更新迄今为止最好的集合 S。

时间复杂度为 O(m*n*log(m))。

【讨论】：

谢谢.. 这个解决方案非常适合我处理过的几个测试用例。谢谢你。编码真的很容易。