递归字符串置换函数的复杂度答案

【问题标题】：complexity of recursive string permutation function递归字符串置换函数的复杂度
【发布时间】：2011-07-18 19:54:25
【问题描述】：

发件人：Are there any better methods to do permutation of string?

这个函数的复杂度是多少？？？

void permute(string elems, int mid, int end)
{
    static int count;
    if (mid == end) {
        cout << ++count << " : " << elems << endl;
        return ;
    }
    else {
    for (int i = mid; i <= end; i++) {
            swap(elems, mid, i);
            permute(elems, mid + 1, end);
            swap(elems, mid, i);
        }
    }
}

【问题讨论】：

标签： algorithm string complexity-theory

【解决方案1】：

不用太深入研究您的代码，我想我可以有理由相信它的复杂性是 O(n!)。这是因为任何枚举 n 个不同元素的所有排列的有效过程都必须遍历每个排列。有n！排列，因此算法必须至少为 O(n!)。

编辑：

这实际上是 O(n*n!)。感谢@templatetypedef 指出这一点。

【讨论】：

我认为您忘记了打印 O(n) 个字符的 O(n!) 次，这需要 O(n x n!) 时间。
@templatetypedef: nn!n!
@MAK- O(n!) != O((n+1)!)。确实，任何 O(n!) 也是 O((n+1)!)，但反之则不成立。快速证明 - (n+1)！ = O((n+1)!) 很简单。现在假设 (n+1)! = O(n!);那么一定有一些 c, n0 使得对于任何 n > n0, (n+1)！ n0，n

【解决方案2】：

忽略打印，满足的递推关系为

T(n) = n*T(n-1) + O(n)

如果G(n) = T(n)/n! 我们得到

G(n) = G(n-1) + O(1/(n-1)!)

给出G(n) = Theta(1)。

因此T(n) = Theta(n!)。

假设打印恰好发生n! 次，我们得到的时间复杂度为

Theta(n * n!)

【讨论】：

@rajyavardhan：为什么在最初的复发中有O(n) 因素？
由于交换操作 - 每个操作都需要 O(1) 并且发生在一个循环中。
空间复杂度是否也是二次方O(n^2)，因为存储在 Set 中的唯一排列会随着初始输入越大而变得越大？

【解决方案3】：

long long O(int n)
{
    if (n == 0)
        return 1;
    else 
       return 2 + n * O(n-1);
}

int main()
{
    //do something
    O(end - mid);
}

这将计算算法的复杂度。

实际上 O(N) 是N!!! = 1 * 3 * 6 * ... * 3N

【讨论】：