为什么要对 0/1 背包进行动态规划？答案

【问题标题】：Why dynamic programming for 0/1 Knapsack?为什么要对 0/1 背包进行动态规划？
【发布时间】：2018-04-22 03:50:31
【问题描述】：

我查看了很多资源以及this 的问题，但仍然很困惑为什么我们需要动态编程来解决 0/1 背包问题？

问题是：我有N 项目，每个项目的价值Vi，每个项目的重量Wi。我们有一袋总重量W。如何选择物品以获得超出重量限制的最佳总价值。

我对动态编程方法感到困惑：为什么不只计算每个项目的（价值/重量）的分数，然后选择重量比袋子中剩余重量更小的分数最好的项目？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

当存在单位比率情况时，贪心算法会失败。例如考虑以下示例：

n= 1 2, P= 4 18, W= 2 18, P/W= 2 1

背包容量=18

根据贪心算法，它会考虑第一个项目，因为它的 P/W 比更大，因此总利润将为 4（因为它不能在第一个之后插入第二个项目，因为在插入第一个项目后容量减少到 16 )。

但实际答案是 18。

因此，贪婪无法给出最优解的极端情况有很多，这就是我们在 0/1 背包问题中使用动态规划的原因。

【讨论】：

【解决方案2】：

正如其他答案所指出的，您的方法存在极端情况。

为了更好地解释递归解决方案，也许为了更好地理解它，我建议你用这个推理来处理它：

对于每个“subsack”

此算法之所以有效，是因为它跨越了所有可能的拟合元素组合，并找到具有最高值的那个。

作为the problem is NP-hard，直接解决方案是不可能的。

【讨论】：

【解决方案3】：

看看这个反例：

Weight 7, W/V pairs (3/10),(4/12),(5/21)

【讨论】：

【解决方案4】：

对于基于分数的方法，您可以轻松找到反例。

考虑

W=[3, 3, 5]
V=[4, 4, 7]
Wmax=6

您的方法给出了最佳值 Vopt=7（我们将采用自 7/5 > 4/3 以来的最后一项），但采用前两项会得到 Vopt=8。

【讨论】：