这个 C++ 函数的时间复杂度是多少？

Question

我写了一个函数来显示素数和特定数 n 的因数。

bool PrimeFactor(int n){
    int count = 0;// count divisors

    for (int i = 2 ; i < n; i++){
        if ( n % i == 0 ){
            if ( PrimeFactor(i)){              
                cout << i << endl;
            }
            count ++;
        }
    }

    if (count > 0)//not prime
        return false;
    return true;
}

结果可能会在某些地方重复，但这不是大问题。我不知道如何计算这个递归函数的时间复杂度。

Answer 1

这种简化的递归次数不会少于原来的次数，并且它具有复杂性O(n!)。所以这是一个上限。

bool PrimeFactor(int n)
{
    for (int i = 2 ; i < n; i++) PrimeFactor(i);
}

我觉得原文的复杂度是O(n log n loglog n ...)。

Answer 2

这基本上是 Ben Voigt 答案的扩展版本。

正如 Ben Voigt 所说，没有条件的版本是 O(n)，这应该很简单。

现在，带有条件的版本将在 if 语句内执行递归的次数等于 n 的除数（= value of the divisor function for n = d(n)）。

下限inf d(n) = 2，因为对于每个素数，这都是真的，并且有无限多的素数，所以无论你做多大的n，你总能找到一个d(n) = 2。这意味着对于素数，您的函数将递归 0 次，并且具有复杂性 O(n)。

上限更复杂（我需要咖啡），所以让我们暂时跳过它并计算平均复杂度。 d(n) = O(log n) 的平均复杂度，因此，正如 Ben Voigt 所说，原始函数的平均复杂度为 O(n log n loglog n ...)。更详细地说：你有 for 循环，即 O(n)，在这个 for 循环中，你将平均递归 d(n) = O(log n) 次。现在你再次进入函数并递归O(log (log n))次等等。

另请注意 DarkDust 和 Jeff Forster 对您的问题的 cmets。它也不会按照您想要的方式运行。此外，检查偶数是否除以n 是没有用的，因为偶数永远不会是素数（当然除了 2）。由于递归，您将在递归调用期间输入内部 if（带有 cout 的那个），因此您得到的输出将不是您想要的（我假设这是 n 的不同主要除数)。

另一种节省时间的方法是只测试floor(sqrt(n))。如果一个数 i 正好整除 n，请检查商 j = n / i 是否也是质数。例如。对于n = 6，您将测试到floor(sqrt(6)) = 2。然后你发现i = 2 是一个除数，你检查j = 6 / 2 = 3。你会发现i 和j 在这种情况下都是素数。

Answer 3

我试图以正式的方式翻译（到递归关系）并解决您的算法，如下所示：

增长的顺序是非多项式，这是一个要避免的算法！