这个c函数的复杂度是多少

Question

以下c函数的复杂度是多少？

double foo (int n) {
    int i;
    double sum;
    if (n==0) return 1.0;
    else {
        sum = 0.0;
        for (i =0; i<n; i++)
        sum +=foo(i);
        return sum;
    }
}

请不要只发布复杂性，您能帮助我了解如何去做吗？

编辑：这是考试中提出的客观问题，提供的选项是 1.O(1) 2.O(n) 3.O(n!) 4.O(n^n)

Answer 1

这是 Θ(2^n)（假设 f 是我们所拥有的算法的运行时间）：

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + 1
f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ...
==> f(n) = 2*f(n-1), f(0) = 1
==> f(n) is in O(2^n)

其实如果我们忽略常量操作，准确的运行时间是2ⁿ。

如果你写的是考试，O(n!) 和 O(n^n) 都是正确的，其中最接近 Θ(2^n) 的答案是 O(n!)，但是如果我是学生，我会标记他们两个:)

---

O(n!) 的解释：

for all n >= 1: n! = n(n-1)...*2*1 >= 2*2*2*...*2 = 2^(n-1) ==>
2 * n! >= 2^n ==> 2^n is in O(n!),
Also n! <= n^n for all n >= 1 so n! is in O(n^n)

So O(n!) in your question is nearest acceptable bound to Theta(2^n)

Answer 2

一方面，它的编码很差:)

double foo (int n) {         // foo return a double, and takes an integer parameter
    int i;                   // declare an integer variable i, that is used as a counter below
    double sum;              // this is the value that is returned
    if (n==0) return 1.0;    // if someone called foo(0), this function returns 1.0
    else { // if n != 0
        sum = 0.0;           // set sum to 0
        for (i =0; i<n; i++) // recursively call this function n times, then add it to the result
        sum +=foo(i);
        return sum;          // return the result
    }
}

你正在调用 foo() 类似 n^n 的东西（你将 n 向下舍入到最接近的整数）

例如：

foo(3) 将被调用 3^3 次。

祝你好运，圣诞快乐。

编辑：哎呀，刚刚更正了一些东西。为什么 foo 返回一个双精度值？它总是返回一个整数，而不是双精度。

这将是一个更好的版本，带有微优化！ :D

int foo(int n)
{
    if(n==0) return 1;
    else{
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < n; ++i)
        sum += foo(i);
        return sum;
    }
}

Answer 3

你本来可以更清楚一点... grumble grumble

<n = ?> : <return value> : <number of times called>
n = 0 : 1 : 1
n = 1 : 1 : 2
n = 2 : 2 : 4
n = 3 : 4 : 8
n = 4 : 8 : 16
n = 5 : 16 : 32
n = 6 : 32 : 64
n = 7 : 64 : 128
n = 8 : 128 : 256
n = 9 : 256 : 512
n = 10 : 512 : 1024

number_of_times_call = pow(2, n-1);

让我们尝试输入，好吗？

使用此代码：

#include <iostream>

double foo (int n) {
    int i;
    double sum;
    if (n==0) return 1.0;
    else {
        sum = 0.0;
        for (i =0; i<n; i++)
        sum +=foo(i);
        return sum;
    }
}


int main(int argc, char* argv[])
{
    for(int n = 0; 1; n++)
    {
       std::cout << "n = " << n << " : " << foo(n);
       std::cin.ignore();
 }

    return(0);
}

我们得到：

n = 0 : 1
n = 1 : 1
n = 2 : 2
n = 3 : 4
n = 4 : 8
n = 5 : 16
n = 6 : 32
n = 7 : 64
n = 8 : 128
n = 9 : 256
n = 10 : 512

因此可以简化为：

double foo(int n)
{
    return((double)pow(2, n));
}

Answer 4

函数由多个部分组成。

第一个复杂性是if(n==0)return 1.0;，因为它只会生成一次运行。那将是O(1)。

下一部分是for(i=0; i<n; i++) 循环。因为从0..n循环它是O(n)

除了递归之外，对于n 中的每个数字，您都会再次运行该函数。并在该函数中再次循环和下一个函数。等等……

要弄清楚它会是什么，我建议您在循环内添加一个全局计数器，这样您就可以看到它针对某个数字执行了多少次。