有多少种可能的数字组合构成相同的二叉树

Question

设置：

我有一个代表二叉树的数字列表。第一个数字的处理方式与其他数字不同，它是根。在“其余”的数字中，有些会高于根，有些会低于根。较大的数字被排序到左边，而较小的数字被排序到右边。示例：

list = [5,7,6,8,9,2,1,3,4]
root = 5
higher = [7,6,8,9] #in order of appearance
    root = 7
    higher = [8,9]
    lower  = [6]
lower  = [2,1,3,4] #in order of appearance
    root = 2
    higher = [3,4]
    lower  = [1]

在这种情况下，树看起来像这样：

                                      5
                        -------------| |--------------
                       |                             |
                       7                             2
             8--------| |-------6             3-----| |-----1
         ---|                              ---|
        9                                 4

我正在寻找一种方法来模拟列表[5,7,6,8,9,2,1,3,4] 可以排列的可能组合的数量，以便生成相同的二叉树。解决方案肯定是递归的，在“更高”和“更低”数字列表中，它们可以被分解得更多。

可以通过分解树来开始计算所有数字的排列方式，就像我们对上面的列表所做的那样。

父母可以混，孩子可以混，但是孩子和父母不能混

higher = [7,6,8,9]

但higher 列表不需要保留[7,6,8,9] 的顺序。只有根较高且不是另一棵树的父项的项目才需要按外观顺序保留。由于6 和8 都是7 的孩子，它们可以互换，但9 必须在8 之前，因为它是它的孩子。所以基本上重新排列这个列表的唯一规则是：

• 必须以 7 开头
• 8 必须始终在 9 之前

因此与此有三种组合。

[7,6,8,9]
[7,8,6,9]
[7,8,9,6]

所有这些都可以分解成相同的子树，所以我们的条件满足了，现在我们可以查看元素列表lower而不是主根。

lower = [2,1,3,4]

下层列表也不需要保留它的顺序，它遵循类似的规则，可以用三种不同的方式来生成相同的树：

[2,1,3,4]
[2,3,1,4]
[2,3,4,1]

我们现在有以下信息： - 较低的可以写3种方式 - 较高的可以写3种方式

它们可以组合多少种不同的方式来生成同一棵树？这是 3^3 吗？还是更多？

看看我知道的数字：

list = [5,7,6,8,2,1,3,4]

如果我列出每个位置可能出现的数字，这就是我最终能走多远：

列表的第一个元素必须是 5，它是根。之后必须是2 或7，因为其他任何东西都会破坏较高/较低列表的顺序。之后就乱七八糟了。

如果第二个数字 = 2，则第三个数字可以是 1、3 或 7 这三个数字之一。

如果第二个数字 = 7，则第三个数字可以是 6、8 或 2 这三个数字之一。

在此之后，它扩展得更大，并且组合上升得非常快。我的问题是，有没有办法以有效的方式递归检索总可能组合的数量？我将在 python 中执行此操作。谢谢。

Answer 1

以上述想法为基础....这里是生成所有等效排序的 python 生成器代码。

import collections

Node = collections.namedtuple('Node', ('root','left', 'right'))

def tree_from_list(lst):
    if not lst:
        return None
    root = lst[0]
    left_lst = [x for x in lst if x > root]
    right_lst = [x for x in lst if x < root]
    return Node(root,tree_from_list(left_lst), tree_from_list(right_lst))

def parent(key, tree):
    if tree is None:
        return -1
    elif (tree.left != None) and (tree.left.root == key): 
        return tree.root
    elif (tree.right != None) and  (tree.right.root == key):
        return tree.root
    elif (key > tree.root):
        return parent(key, tree.left)
    else: return parent(key, tree.right)

def all_insert_after(key, target, seq):
    i = seq.index(key)
    for j in range(i,len(seq)):
            mylist =  seq[:j+1] + [target] + seq[j+1:]
            yield mylist

def all_equivalent_orderings(seq):
    if (len(seq)==1):
    yield seq
    else:
        z = seq[-1]
        p = parent(z, tree_from_list(seq))
        for a in all_equivalent_orderings(seq[:-1]):    
            for b in all_insert_after(p,z,a):
                yield b  

print "Here are all 630 equivalent orderings of [5,7,6,8,9,2,1,3,4]"         
for o in all_equivalent_orderings([5,7,6,8,9,2,1,3,4]):
    print o

Answer 2

据我了解，您希望拓扑顺序的数量与每个节点与其父节点都有弧的图形兼容。我将在未经测试的 Python 中绘制一个解决方案。首先我们需要一个节点数据类型。

import collections

Node = collections.namedtuple('Node', ('left', 'right'))

一棵树要么是None（空树），要么是Node，其中两个字段都是树。

现在，空树的拓扑序数为1，即只是空序。非空树的拓扑阶数由以下计数参数给出。根源永远是第一位的。在根之后，左子树的任意拓扑顺序与右子树的任意拓扑顺序任意打乱。因此公式是三个因素的乘积。

import math

def num_shuffles(left_size, right_size):  # binomial coefficient
    return (math.factorial(left_size + right_size) //
            (math.factorial(left_size) * math.factorial(right_size)))

def num_orders_and_size(tree):
    assert isinstance(tree, (type(None), Node))
    if tree is None:
        return (1, 0)
    else:
        left_num_orders, left_size = num_orders_and_size(tree.left)
        right_num_orders, right_size = num_orders_and_size(tree.right)
        return (num_shuffles(left_size, right_size) *
                left_num_orders * right_num_orders,
                left_size + 1 + right_size)

为了从列表中构建树，我们使用递归（有更快的方法，但这个最简单）。

def tree_from_list(lst):
    if not lst:
        return None
    root = lst[0]
    left_lst = [x for x in lst if x > root]
    right_lst = [x for x in lst if x < root]
    return Node(tree_from_list(left_lst), tree_from_list(right_lst))