n 个节点可以生成多少个非同构完整二叉树？

Question

同构意味着一棵完全二叉树的任意子树交换自己可以与另一个相同。

答案肯定不是加泰罗尼亚数，因为加泰罗尼亚数的数量计算同构数。

Answer 1

我假设n 节点是指n 内部节点。所以它将有2n+1 顶点和2n 边。

接下来，我们可以对二叉树进行排序，如下所示。具有更多节点的树更大。如果两棵树的节点数相同，则比较左侧，并通过比较右侧来打破平局。如果两棵树按此顺序相等，通过归纳法不难证明它们是同一棵树。

对于您的问题，我们可以假设对于每个同构类，我们只对该同构类中的 最大 树感兴趣。请注意，这意味着左子树和右子树在它们的同构类中也必须是最大的，并且左子树必须与右子树相同或大于右子树。

所以假设f(n) 是具有n 节点的非同构二叉树的数量。我们现在可以递归了。以下是我们的案例：

1. n=0 有一棵空树。
2. n=1 有一个。一个有 2 片叶子的节点。
3. n > 1。让我们遍历右边的数字m。如果2m+1 < n 则右侧有f(m) 最大树，左侧有f(n-m-1)，所有这些对于f(m) * f(n-m-1) 都是最大的。如果2m+1 = n，那么我们想要在右边有一个最大的树，有m 节点，左边有一个最大的树，有m 节点，右边的树必须小于或等于左边。但是有一个众所周知的公式可以说明有多少种方法可以做到这一点，那就是f(m) * (f(m) + 1) / 2。最后我们不能有n < 2m+1，因为在这种情况下我们没有最大树。

使用它，您应该能够编写一个递归函数来计算答案。

UPDATE下面是这样一个函数：

cache = {0: 1, 1:1}
def count_nonisomorphic_full_trees (n):
    if n not in cache:
        answer = 0
        for m in range(n):
            c = count_nonisomorphic_full_trees(m)
            if n < m+m+1:
                break
            elif n == m+m+1:
                answer = answer + c*(c+1)//2
            else:
                d = count_nonisomorphic_full_trees(n-m-1)
                answer = answer + c*d
        cache[n] = answer
    return cache[n]

请注意，它开始时比加泰罗尼亚数字慢，但仍呈指数增长。