如果在地图中插入元素需要 log(N) 时间，其中 N 是地图的大小。 然后将数组的元素一一插入 log(1)+log(2)+....+log(N) = log(N!) 复杂度。但是对元素进行排序的正常最佳复杂度是 Nlog(N)，我哪里出错了？
【问题讨论】：
无处可去，O(log n!) == O(n log n)。证明有点数学。
首先，我们有log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n) = n log(n)。另一方面，我们也得到以下
2 log(n!) = 2*(log(1) + log(2) + ... + log(n))
= (log(1) + log(n)) + (log(2) + log(n-1)) + ... + (log(i) + log(n-i+1)) + ... + (log(n) + log(1))
= log(1*n) + log(2*(n-1)) + ... + log(i*(n-i+1)) + ... log(n*1)
>= log(n) + ... + log(n) = n log(n)
自i*(n-i+1) = i*n - i*i + i >= n 以来我们从哪里得到不等式（看起来有点神秘，但它基本上说产品的增长速度快于总和）。
所以我们有log(n!) <= n log(n) <= 2 log(n!)。根据 O 符号的定义，这意味着 O(log(n!)) = O(n log(n))。
【讨论】：
O(n log n) 并且将元素插入到地图中并不完全是 log n 时间。两者都是一个粗略的估计，只有在一个常数因子下才是正确的。因此，出于运行时分析的原因，我们不区分log(n!) 和2log(n!)，这样做也没有意义，因为我们分析所基于的知识（一次插入的运行时间）并不准确开始，但也只在一个常数因子之前为真。