如何使用约束规划来优化购物篮？答案

【问题标题】：How to use constraint programming for optimizing shopping baskets?如何使用约束规划来优化购物篮？
【发布时间】：2011-02-18 19:23:46
【问题描述】：

我有一份我想购买的物品清单。这些商品由不同的商店和不同的价格提供。商店有单独的送货费用。我正在寻找一种最佳的购物策略（以及支持它的 java 库）以最低的总价购买所有商品。

示例：

商品 1 在 Shop1 的售价为 100 美元，在 Shop2 的售价为 111 美元。
商品 2 在 Shop1 的售价为 90 美元，在 Shop2 的售价为 85 美元。
Shop1 的运费：如果总订单
Shop2 的运费：如果总订单

如果我在 Shop1 购买商品 1 和商品 2，总成本为 100 美元 + 90 美元 + 0 美元 = 190 美元。
如果我在 Shop2 购买商品 1 和商品 2，总成本为 111 美元 + 85 美元 + 0 美元 = 196 美元。
如果我在 Shop1 购买商品 1，在 Shop2 购买商品 2，总成本为 $100 + $10 + $85 + $0 = 195.

如果我在 Shop1 订购商品 1 和商品 2，我将获得最低价格：190 美元

到目前为止我尝试了什么

我问过another question，然后才让我进入约束编程领域。我查看了cream 和choco，但我没有弄清楚如何创建一个模型来解决我的问题。

         | shop1 | shop2 | shop3 | ...
-----------------------------------------
item1    | p11   | p12   | p13   |
item2    | p21   | p22   | p23   |
 .       |       |       |       |
 .       |       |       |       |
-----------------------------------------
shipping | s1    | s2    | s3    |
limit    | l1    | l2    | l3    |
-----------------------------------------
total    | t1    | t2    | t3    |
-----------------------------------------

我的想法是定义这些约束：

每个价格“p xy”定义在域 (0, c) 中，其中 c 是该商店中商品的价格
一行中只有一个价格不应为零
如果从一家商店购买一件或多件商品并且价格总和低于限额，则将运费添加到总费用中
商店总成本是商店中所有商品价格的总和
总成本是所有店铺总和的总和

目标是“总成本”。我想尽量减少这种情况。

在奶油中，我无法表达有条件运输成本的“如果那么”约束。

在 choco 中存在这些限制，但即使对于 5 件商品和 10 家商店，该程序也运行了 10 分钟而没有找到解决方案。

问题

我应该如何表达我的约束以使这个问题可以被约束规划求解器解决？

【问题讨论】：

标签： java constraints mathematical-optimization constraint-programming

【解决方案1】：

我已经在MiniZinc（一种高级约束编程语言）中实现了这个问题：shopping_basket.mzn。它非常先进，也许可以用作您的 Java 模型的模型。

对于 Choco 模型，您是否尝试过不同的搜索策略？不同的策略可能会更快。

顺便说一句，您可能想查看的另一个 Java 约束编程求解器是 JaCoP。

【讨论】：

非常感谢！我一定会仔细研究 MiniZinc，尤其是您的程序！
您如何模拟并非所有商店都出售所有商品的事实？只需给他们一个非常高的价格，比如 999999999？
这是一种方法，可能是最简单的方法。另一种方法是将其编码为 0（零）并相应地调整计算，但这可能更混乱。我现在修复了模型中的一个错误，并添加了第三家没有商品 1 的商店（编码为 9999999）。
下一次尝试：hakank.org/minizinc/shopping_basket5.mzn 在这里，我继续使用单数组方法，但对域进行了相当大的改进（这似乎是正确的）。此外，N/A 编码为 99999（对于 Gecode/fz 而言并非真正需要），搜索启发式为“最大/indomain_max”。 Gecode/fz 在大约 25 秒内求解，结果如下： total = 42013 x = [13, 20, 17, 18, 18, 13, 17, 17, 20, 13, 17, 17, 13, 13, 18, 17、13、13、17、8、13、36、10、17、13、13、17、20、13]
我在我的博文“优化购物篮：MiniZinc 模型的开发”中对此进行了详细解释：hakank.org/constraint_programming_blog/2010/05/…

【解决方案2】：

您要问的实质上是k-knapsack problem。我喜欢的维基百科页面有丰富的解决方案资源。然而问题是 NP-Complete 可以完全解决，因此您可能希望通过simulated annealing 或其他形式寻找接近最佳的解决方案，以搜索问题空间。

首先要记住的是，在约束问题中，您最终可能会花费大量时间来生成解决方案。在您之前的示例中，虽然 5 件商品和 10 家商店看起来很小，但实际上会产生很大的问题空间（大约 1e5 不包括进一步引起问题的附加条件定价的复杂性）。

这个问题的限制是你每件都买一件。目标是最低价格。我认为您所拥有的相当不错，尽管我不太确定要点一和二。

每个价格“p xy”在域 (0, c) 中定义，其中 c 是该商店中商品的价格

一行中只有一个价格不应为零

我会考虑将运费摊销到所购买物品的成本上，而不是在计算时将其作为总价值添加。

【讨论】：

好的，现在我认识到优化中的背包问题。但我仍然没有解决它的想法。对于运输成本条件，我认为背包问题中没有等价物。
我将编辑我的答案并尝试提供一些建议。认为最好的办法是对问题本身进行一些研究。它有一个相当丰富的身体，有一些非常有趣的论文。
你能再解释一下你的最后一段吗？你会怎么处理运费？

【解决方案3】：

我不太确定这是一个 k-knapsack 问题。该问题确实提到了“购物篮”一词，但没有具体说明任何给定货物的容量。如果您指定了最大装运尺寸，那么问题开始看起来更像是一个背包问题。

这个问题实际上只是一个基本的网络流问题，弧上的运输成本和起点的成本。因为您有一个明确的目标函数 - 最小化运输 + 产品成本，并且因为可能只有一种解决方案，所以 CP 可能不是最好的方法。

将求解视为线性规划问题：

最小值：运输 + 产品成本

ST：总出货量 >= 需求（每种产品）

您可能需要为运输成本开发一些分段线性方程，但这应该不是问题。

【讨论】：