当下边界接近零时生成均匀随机变量

Question

当我在 R 中运行时

runif(100,max=0.1, min=1e-10)

我得到 100 个均匀分布的随机变量介于 0.1 和 0.0001 之间。因此，在 0.0001 和最小值 (min=1e-10) 之间没有随机值。

如何在整个区间（最小值和最大值之间）生成均匀随机变量？

Answer 1

也许你生成的不够多，以至于你已经看到了一个：

> range(runif(100,max=0.1,min=exp(-10)))
[1] 0.00199544 0.09938462
> range(runif(1000,max=0.1,min=exp(-10)))
[1] 0.0002407759 0.0999674631
> range(runif(10000,max=0.1,min=exp(-10)))
[1] 5.428209e-05 9.998912e-02

它们多久出现一次？

> sum(runif(10000,max=0.1,min=exp(-10)) < .0001)
[1] 5

在 10000 个样本中有 5 个。因此，在 100 个样本中得到一个的机会是……（实际上，您可以从均匀分布的数量和属性中准确计算出）。

Answer 2

（已编辑以将 exp(-10) 替换为 1e-10）

给定0.1 的最大值和1e-10 的最小值，任何给定值小于1e-4 的概率由下式给出

(1e-4 - 1e-10) / (0.1 - 1e-10) = 9.99999e-04

这个分布中的 100 个随机值都大于1e-4 的概率是

(1 - 9.99999e-04) ^ 100 = 0.90479

大约 90.5%。因此，在从该分布中抽取 100 个数字时，您一点也不应该感到惊讶，您看到的数字不小于 1e-4。理论上，这预计超过 90.5% 的时间。我们甚至可以在模拟中验证这一点：

set.seed(47) # for replicability
# 100,000 times, draw 100 numbers from your uniform distribution
d = replicate(n = 1e5, runif(100, max = 0.1, min = 1e-10))
# what proportion of the 100k draws have no values less than 1e-4?
mean(colSums(d < 1e-4) == 0)
# [1] 0.90557
# 90.56% - very close to our calculated 90.48%

为了更精确，我们可以重复更多次

# same thing, 1 million replications
d2 = replicate(n = 1e6, runif(100, max = 0.1, min = 1e-10))
mean(colSums(d2 < 1e-4) == 0)
# [1] 0.90481

因此，对于 1MM 复制，runif() 几乎完全符合预期。与0.90481 - 0.90479 = 0.00002 的预期不同。我会说绝对没有证据表明runif 已损坏。

我们甚至可以绘制一些复制的直方图。以下是前 20 个：

par(mfrow = c(4, 5), mar = rep(0.4, 4))
for (i in 1:20) {
    hist(d[, i], main = "", xlab  = "", axes = F, 
         col = "gray70", border = "gray40")
}

直方图每个显示 10 个条形图，因此每个条形图的宽度约为 .01（因为总范围约为 0.1）。您感兴趣的范围约为0.0001 宽。要在直方图中看到这一点，我们需要在每个图中绘制 1,000 个条形图，是条形图的 100 倍。当只有 100 个值时，使用 1,000 个 bin 没有多大意义。当然，几乎所有的垃圾箱都是空的，尤其是最低的垃圾箱，大约 90% 的时间都是空的，正如我们上面计算的那样。

要获得更多非常低的随机值，您的两个选择是 (a) 从均匀分布中提取更多数字或 (b) 将分布更改为权重更接近 0 的分布。您可以尝试指数分布吗？或者，如果你也想要一个硬上限，你可以扩展一个 beta 分布？您的另一个选择是根本不使用随机值，也许您想要均匀间隔的值，seq 就是您要找的？