用于对两个不相交集执行联合操作的数据结构答案

【问题标题】：Data structure used to perform the union operation on two disjoint sets用于对两个不相交集执行联合操作的数据结构
【发布时间】：2016-02-02 20:19:24
【问题描述】：

什么基本数据结构最适合用于两个不相交集的联合操作？

有没有可以在 O(1) 时间内运行的算法？

我正在考虑各种哈希表，但我有点卡住了。这是关于算法和数据结构的学习指南。

完整的问题：集合运算 UNION 以两个不相交的集合 S1 和 S2 作为输入，并返回一个集合 S = S1 ∪ S2 由 S1 和 S2 的所有元素组成（集合 S1 和 S2 是通常被此操作破坏）。解释如何支持 UNION 操作在 O(1) 时间内使用合适的数据结构。讨论你会使用什么数据结构使用并描述 UNION 操作的算法。

【问题讨论】：

“最佳”在哪方面？还需要哪些其他操作？仅支持联合可以在 O(1) 中轻松完成。
您需要说明这些集合应该支持的其他操作。例如，对于应该实现 java.util.Set 的集合，没有固定时间联合。如果有人想要恒定时间联合，他们通常会引导您使用联合查找算法（google it），但这与实现普通的 Set 接口非常不同。

标签： java algorithm data-structures union

【解决方案1】：

如果集合是不相交的，一个链表（带头和尾）就足够了。在这种情况下，联合只是列表的串联。在 C++ 中：

struct LL {
    Value *val;
    LL *next;
};
struct LList{
    LL *head;
    LL *tail;
};

联合操作将是：

void unify(LList* list1, LList* list2) {
    // assuming you take care of edge cases
    list1->tail->next = list2->head;
    list1->tail = list2->tail;
    return;
}

【讨论】：

【解决方案2】：

有时适用于该问题的一种有趣技术（并非总是如此，正如您将看到的那样）是使用“循环”数组，每个循环存储一个集合。循环存储为一堆“下一个元素”链接，因此next[i] 将给出一个表示下一个项目的整数。最后链接循环回来，所以集合必然是不相交的。

其中的好处是您可以通过交换两个项目将两个集合合并在一起。如果你有索引s1和s2，那么它们所在的集合（s1和s2不是特殊代表，你可以通过它的任何元素引用一个集合）可以通过交换这些位置来合并：

int temp = next[s1];
next[s1] = next[s2];
next[s2] = temp;

或者您也可以换成您的语言。据我所知，Java 没有很好的 std::swap(&next[s1], &next[s2]) 等价物。

这显然与循环链表有关，但更紧凑。缺点是你必须提前准备好你的“宇宙”。使用链表，您可以任意添加项目。此外，如果您的项目不是整数 0 到 n，那么您将在旁边有一个数组来进行映射，但这并不是纯粹的缺点或优点，这取决于您需要用它做什么。

一个额外的好处是，因为您可以通过索引引用一个项目，它更容易与其他数据结构一起使用，例如它喜欢与 Union Find 结构（它也是一个整数数组，两个其中），继承两个结构提供的 O(1) 联合，保持联合查找的摊销 O(α(n)) 查找，并且（从循环结构）保持集合的 O(m) 集合枚举大小为 m。因此，您通常可以两全其美。

如果不是很明显，您可以像这样使用“所有单例”初始化“宇宙”：

for (int i = 0; i < next.length; i++)
    next[i] = i;

与联合查找相同。

【讨论】：