可以对不相交集执行哪些操作？答案

【问题标题】：What operations can be performed on disjoint sets?可以对不相交集执行哪些操作？
【发布时间】：2011-01-16 10:43:33
【问题描述】：

刚研究了disjoint set数据结构，知道它也叫“union-find数据结构”，union和find是这个数据结构的两个主要操作。我们可以对不相交的集合进行并集，类似地我们可以进行查找操作；我想知道除了 union 和 find 之外，我们还可以对不相交的集合执行哪些其他操作。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

union-find 不相交集结构的重点不在于执行基本集合操作，正如您的问题和其他受访者所暗示的那样。相反，它是关于成为某些算法所需结构的高效实现。特别是，查找连通分量和最小生成树在 union-find 不相交集之上构建了它们最有效的实现。

【讨论】：

【解决方案2】：

使用 vanilla union-find 数据结构，您无法枚举实际集合，因此许多集合操作不可用。这是因为在香草版本中，您只有一个方向的指针 --- 在下图中，每条对角线对应一个向上的箭头，而根（顶线）是集合的根对象：

     o [set1]         o [Set2]
    / \                \
   o   o                o
  /
 o

所以没有办法找到集合 1 的所有对象；例如，您无法从根节点跟踪到它们的路径。你也可以有向下的指针，但这会使数据结构变得非常复杂，因为一个对象在数据结构中可以有任意数量的父对象。

所以实际上主要是针对以下操作：

为了详细说明这一点，联合集数据结构对于它支持的操作具有非常低的时间复杂度；合并集合和回答同一个集合的查询都需要摊销常数时间（O(1)）；由于这种时间复杂度，你不能支持所有的集合操作。例如，标准集表示是由 [binary] 搜索树，其中大多数操作至少具有 O(log n) 复杂度。

【讨论】：

【解决方案3】：

不相交集结构也称为“并集结构”。所以无论如何都应该支持union、find 和MakeSet 操作。其他操作并不是这个结构的全部内容，是否支持它们取决于实现和您的目标。有时您需要专门选择特定的实现来满足您的项目对额外操作的需求。

除此之外，如果我们支持其他与集合相关的基本操作就好了。让我们列举一下：

【讨论】：