由于在数字世界中几乎不会发生真正的碰撞，因此我们总会遇到“碰撞”的圆圈与矩形重叠的情况。
圆与矩形完美碰撞没有重叠的情况下如何放回？
假设矩形停止（零速度）并且轴对齐。
我会用a posteriori 方法（二维）解决这个问题。
简而言之，我必须为 t 求解这个方程：
地点：
是一个回答问题的数字：多少帧之前 碰撞完美发生？
是圆的半径。
是圆心
是它的速度。
和 是返回 x 和 y 坐标的函数 圆和矩形碰撞的点（当圆是 在位置，即与矩形完美碰撞的位置）。
最近解决了一个similar problem的圆碰撞问题，但是现在不知道函数A和B的规律。
【问题讨论】：
标签： java collision-detection physics collision game-physics
多年来一直盯着这个问题，一直没有想出完美的解决方案，我终于做到了！
这几乎是一个简单的算法，不需要循环和近似。
这是它在更高级别上的工作方式：
现在是血淋淋的细节！
函数的输入是边界（它有一个左、上、右、下）和一个当前点（开始）和一个未来点（结束）。
输出是一个名为 Intersection 的类，它有 x、y、time、nx 和 ny。
我们从经常使用的缓存变量开始：
float L = bounds.left;
float T = bounds.top;
float R = bounds.right;
float B = bounds.bottom;
float dx = end.x - start.x;
float dy = end.y - start.y;
并计算与每一面的平面相交的时间（如果起点和终点之间的向量经过该平面）：
float ltime = Float.MAX_VALUE;
float rtime = Float.MAX_VALUE;
float ttime = Float.MAX_VALUE;
float btime = Float.MAX_VALUE;
if (start.x - radius < L && end.x + radius > L) {
ltime = ((L - radius) - start.x) / dx;
}
if (start.x + radius > R && end.x - radius < R) {
rtime = (start.x - (R + radius)) / -dx;
}
if (start.y - radius < T && end.y + radius > T) {
ttime = ((T - radius) - start.y) / dy;
}
if (start.y + radius > B && end.y - radius < B) {
btime = (start.y - (B + radius)) / -dy;
}
现在我们尝试看看它是否严格来说是一个侧面交叉点（而不是拐角）。如果碰撞点位于侧面，则返回交点：
if (ltime >= 0.0f && ltime <= 1.0f) {
float ly = dy * ltime + start.y;
if (ly >= T && ly <= B) {
return new Intersection( dx * ltime + start.x, ly, ltime, -1, 0 );
}
}
else if (rtime >= 0.0f && rtime <= 1.0f) {
float ry = dy * rtime + start.y;
if (ry >= T && ry <= B) {
return new Intersection( dx * rtime + start.x, ry, rtime, 1, 0 );
}
}
if (ttime >= 0.0f && ttime <= 1.0f) {
float tx = dx * ttime + start.x;
if (tx >= L && tx <= R) {
return new Intersection( tx, dy * ttime + start.y, ttime, 0, -1 );
}
}
else if (btime >= 0.0f && btime <= 1.0f) {
float bx = dx * btime + start.x;
if (bx >= L && bx <= R) {
return new Intersection( bx, dy * btime + start.y, btime, 0, 1 );
}
}
我们已经走到了这一步，所以我们知道要么没有交叉路口，要么它与一个角落相撞。我们需要确定角点：
float cornerX = Float.MAX_VALUE;
float cornerY = Float.MAX_VALUE;
if (ltime != Float.MAX_VALUE) {
cornerX = L;
} else if (rtime != Float.MAX_VALUE) {
cornerX = R;
}
if (ttime != Float.MAX_VALUE) {
cornerY = T;
} else if (btime != Float.MAX_VALUE) {
cornerY = B;
}
// Account for the times where we don't pass over a side but we do hit it's corner
if (cornerX != Float.MAX_VALUE && cornerY == Float.MAX_VALUE) {
cornerY = (dy > 0.0f ? B : T);
}
if (cornerY != Float.MAX_VALUE && cornerX == Float.MAX_VALUE) {
cornerX = (dx > 0.0f ? R : L);
}
现在我们有足够的信息来求解三角形。这使用距离公式，找到两个向量之间的角度，以及正弦定律（两次）：
double inverseRadius = 1.0 / radius;
double lineLength = Math.sqrt( dx * dx + dy * dy );
double cornerdx = cornerX - start.x;
double cornerdy = cornerY - start.y;
double cornerdist = Math.sqrt( cornerdx * cornerdx + cornerdy * cornerdy );
double innerAngle = Math.acos( (cornerdx * dx + cornerdy * dy) / (lineLength * cornerdist) );
double innerAngleSin = Math.sin( innerAngle );
double angle1Sin = innerAngleSin * cornerdist * inverseRadius;
// The angle is too large, there cannot be an intersection
if (Math.abs( angle1Sin ) > 1.0f) {
return null;
}
double angle1 = Math.PI - Math.asin( angle1Sin );
double angle2 = Math.PI - innerAngle - angle1;
double intersectionDistance = radius * Math.sin( angle2 ) / innerAngleSin;
现在我们解决了所有边和角度，我们可以确定时间和其他所有内容：
// Solve for time
float time = (float)(intersectionDistance / lineLength);
// If time is outside the boundaries, return null. This algorithm can
// return a negative time which indicates the previous intersection.
if (time > 1.0f || time < 0.0f) {
return null;
}
// Solve the intersection and normal
float ix = time * dx + start.x;
float iy = time * dy + start.y;
float nx = (float)((ix - cornerX) * inverseRadius);
float ny = (float)((iy - cornerY) * inverseRadius);
return new Intersection( ix, iy, time, nx, ny );
哇！这很有趣……就效率而言，这有很大的改进空间。您可以对侧交叉点检查重新排序，以便尽早逃脱，同时尽可能少地进行计算。
我希望有一种方法可以在没有三角函数的情况下做到这一点，但我不得不让步！
这是我调用它并使用它来计算圆的新位置的示例，使用法线进行反射，并使用相交时间来计算反射幅度：
Intersection inter = handleIntersection( bounds, start, end, radius );
if (inter != null)
{
// Project Future Position
float remainingTime = 1.0f - inter.time;
float dx = end.x - start.x;
float dy = end.y - start.y;
float dot = dx * inter.nx + dy * inter.ny;
float ndx = dx - 2 * dot * inter.nx;
float ndy = dy - 2 * dot * inter.ny;
float newx = inter.x + ndx * remainingTime;
float newy = inter.y + ndy * remainingTime;
// new circle position = {newx, newy}
}
我已经在pastebin 上发布了完整的代码，其中包含一个完全交互式的示例，您可以在其中绘制起点和终点，并显示时间和由此产生的矩形反弹。
如果您想让它立即运行，您必须从 my blog 下载代码，否则将其粘贴到您自己的 Java2D 应用程序中。
编辑： 我已经修改了 pastebin 中的代码以包含碰撞点，并且还做了一些速度改进。
编辑： 您可以通过使用该矩形的角度来修改旋转矩形，以取消旋转具有圆形起点和终点的矩形。您将执行相交检查，然后旋转生成的点和法线。
编辑： 如果圆的路径的边界体积不与矩形相交，我修改了 pastebin 上的代码以提前退出。
【讨论】：
找到接触的时刻并不难：
您需要在碰撞前的时间步长 (B) 和之后的时间步长 (A) 处的圆和矩形的位置。计算圆心到它在A和B时刻碰撞的矩形的直线的距离（即点到直线距离的常用公式），那么碰撞的时间为：
tC = dt*(dB-R)/(dA+dB),
其中tC是碰撞时间，dt是时间步长，dB是碰撞前到直线的距离，dA是碰撞后的距离，R是圆的半径。
这假设一切都是局部线性的，也就是说，您的时间步长相当小，因此速度等在您计算碰撞的时间步长内不会发生太大变化。毕竟，这是时间步长的点：在足够小的时间步长下，非线性问题是局部线性的。在上面的等式中，我利用了这一点：dB-R 是圆到直线的距离，dA+dB 是移动的总距离，所以这个问题只是将距离比等同于时间比，假设一切都是近似线性的时间步长内。 （当然，在碰撞时刻，线性近似并不是最好的，但要找到碰撞时刻，问题是它是否在 到 到碰撞时刻的时间步长内是线性的。）
【讨论】：
这是一个非线性问题，对吧？
您采取一个时间步，并通过使用该步开始时的速度计算出的位移来移动球。如果发现重叠，请减小步长并重新计算直到收敛。
您是否假设球和矩形都是刚性的，没有变形？无摩擦接触？接触后你将如何处理球的运动？你是在转换到接触的坐标系（法线+切线），计算，然后再转换回来吗？
这不是一个小问题。
也许您应该研究一个物理引擎，例如Box2D，而不是自己编写代码。
【讨论】：