将一个图分成两组答案

【问题标题】：Divide a graph into two sets将一个图分成两组
【发布时间】：2015-11-10 07:21:18
【问题描述】：

问题来自Code jam。

问题：
有没有办法将图的节点分成两组，使得不能留在同一组中的任何两个节点都应该在不同的组中。
有什么标准算法吗？

当每个组应该有相同的元素时，我应该如何解决这个问题。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您从给定节点构建一个图（使用哈希表将名称映射到节点），然后使用 BFS 或 DFS 遍历该图并确定它是否是二分的（即，分成两个不相交的集合，使得一组中的节点仅与另一组中的节点处于“麻烦”状态，但与自己集中的任何节点无关）。这是通过为 BFS/DFS 访问的每个节点分配一个布尔值来完成的，然后检查其访问的任何邻居是否具有相同的值，这意味着该图不是二分图（不能分成两组）。

【讨论】：

为什么它被否决了？我看到它没有回答问题的第二部分，但对于第一部分来说绝对没问题，所以我认为这个答案“没有用”。
@amit 我没有投反对票（实际上我在您发表评论后投了赞成票），但是在仔细阅读了两个答案之后，我有点后悔。距离第二部分还有很长的路要走。当然，我宁愿只对你的答案投赞成票，而不是对这个答案投反对票。
它可能被给出第一个答案的人投了反对票（我猜现在已经删除了），我投了反对票，因为它说你必须找出图表是否有周期（这是错误的 - 二分图可以有偶数长度的循环）

【解决方案2】：

首先，可行性问题（有没有这样的集合/不存在这样的集合）是2-coloring problem，其中：

G = (V,E)
V = { all nodes } 
E = { (u,v) | u and v are "troubling each other" }

这个问题通过检查图形是否为bi-partite来解决，可以使用BFS来解决。

当每个组应该有相同的元素时如何解决这个问题。

首先，我们假设图是二分图，所以有一些解决方案。

将图形拆分为一组连通分量：(S1,S2,S3,...,Sk)。
每个连通分量实际上是一个子图 (Si = Li,Ri) - 其中 Li,Ri 是二部图的两侧（如果忽略 Li 和 Ri 的顺序，每个连通分量中只有一个这样的分裂)。

创建一个新数组：

arr[i] = |Li| - |Ri|   
where |X| is the cardinality of X (number of elements in the set)

现在，解决这个问题与解决partition problem 相同，可以在伪多项式时间内完成（即节点数的多项式）。

分区问题的解决方案将每个arr[i] 拆分为A 或B，使得sum{A} 尽可能接近sum{B}。如果arr[i] 在A 中，则在您的解决方案中，将Li 涂上“1”，将Ri 涂上“2”。否则 - 做相反的事情。

解决方案将是O(k*n+m)，其中k 是连通分量的数量，n 是图中的节点数，m 是图中的边数。

【讨论】：

我错过了第二部分...无论如何，我想您必须按降序对数组 (arr) 进行排序，然后将每个项目添加到 A 或 B 取决于哪个项目的运行总数最低那时。
@gen-y-s 不，这是解决分区问题的贪婪方法，这是次优的。这是在 O(n*k) 时间内使用动态规划解决的
好的，我看到了描述DP算法的文章的链接......我建议贪婪的方法没有看文章......