自然数的二进制表示

Question

要从像 20 这样的自然数中得到二进制表示，我们将这个数除以 2，依此类推，直到我们不能再除以 2。为了从像 0.4512 这样的十进制数中获得二进制表示，我们将这个数乘以 2 次重复。

为什么使用这两个系统我们得到二进制表示的逻辑解释是什么？

谢谢

Answer 1

这是基于数字以二进制编码的事实。

如果数A是整数，则A改写为A=∑_i=0^{n-1 sup>a_i×2i=a_n-1×2n-1+a _n-2×2n-2+...+a₁×2+a₀}

其中 a_i=0 或 1。

容易看出A是偶数，a₀=0，如果是奇数，a₀=1。所以我们已经有了最低有效位 a₀。

现在，如果我们将 A 除以 2，a₀ 就消失了，我们有 A/2=a_n-1×2^n-2+a_n-2×2^n-3+...+a₂×2+a₁

我们可以根据A/2的奇偶性来确定这种方式a₁。我们继续，我们得到了所有的 A。

小数根据2的负幂表示。如果A=0.a_-1a_-2...a_{-n sub>, A=a-1/2+a-2/4+...+a-n/2^ⁿ}

如果我们将其乘以 2，则 2×A=a_-1+a_-2/2+...+a_{-n子>/2^^n-1。如果 2×A≥1，我们必须有 a-1=1，否则 a-1=0。并且我们可以通过连续乘以2来确定其他位是类似的方式。}