在 Python 中使用二分法改进牛顿法

Question

我编写了一个代码，该代码通过牛顿法 (Jacobian N+1 * N+1) 求解高维 (i=0,N) 非线性方程组的二阶系统，具有 2 个边界条件。

我想问你，我是否可以在这个 N 维问题中实现二分法。不幸的是，牛顿收敛不适用于我的问题的某些区域。

据此来源：http://ursa.as.arizona.edu/~rad/phys305/root_finding/node4.html

" 一种改进的求根方案是结合二分法和牛顿-拉夫森方法。二分法保证了一个根（或奇点），用于在线性假设较差时限制由牛顿-拉夫森方法估计的位置变化。然而，为了加速收敛，Newton-Raphson 步骤是在接近线性的状态下进行的。

换句话说，如果我们知道在两个边界点之间有一个根，我们首先考虑 Newton-Raphson 步骤。如果这会预测出我们括号范围之外的下一个点，那么我们通过选择范围的中点作为下一个点来执行二等分步骤。然后，我们在下一个点评估该函数，并根据该评估的符号，用新点替换其中一个边界点。这使根保持在括号内，同时让我们受益于 Newton-Raphson 的速度。 "

... 可以在 Python 中解决 N 维问题吗？

n维中FORTRAN的Rtsafe模块可以做到这一点，可能Matlab也有类似的模块...

Answer 1

除非这是一种家庭作业，否则最好使用solvers from scipy。对于多维问题，请查看 fsolve（它使用修改后的 Newton-Raphson 方法）。