如何使用重复变量以无点样式重写？答案

【问题标题】：How to rewrite in point-free style with a repeating variable?如何使用重复变量以无点样式重写？
【发布时间】：2018-06-16 06:44:43
【问题描述】：

如何用无点样式重写以下表达式？

p x y = x*x + y

使用 lambda 演算，我做了以下事情：

p = \x -> \y -> (+) ((*) x x) y
  = \x -> (+) ((*) x x) -- here start my problem
  = \x -> ((+) . ((*) x )) x
  ... ?

【问题讨论】：

标签： haskell pointfree tacit-programming

【解决方案1】：

如果你去http://pointfree.io/

对于

p x y = x*x + y

它给你

p = (+) . join (*)

【讨论】：

【解决方案2】：

我问lambdabot

<Iceland_jack> @pl p x y = x*x + y
<lambdabot> p = (+) . join (*)

join 来自Control.Monad 并且通常具有这种类型

join :: Monad m => m (m a) -> m a

但是使用instance Monad ((->) x)（如果我们可以left section types，这可以写成(x ->)）我们得到以下类型/定义

join :: (x -> x -> a) -> (x -> a)
join f x = f x x

我们让GHCi确认类型：

>> import Control.Monad
>> :set -XTypeApplications 
>> :t join @((->) _)
join @((->) _) :: (x -> x -> a) -> x -> a

【讨论】：

【解决方案3】：

只是为了好玩，你可以使用State monad 来写

p = (+) . uncurry (*) . runState get

runState get 只是从初始 x 生成一对 (x, x)； get 将状态复制到结果中，runState 返回状态和结果。

uncurry (*) 采用一对值而不是两个单独的值 ((uncurry (*)) (3, 3) == (*) 3 3 == 9)。

【讨论】：

【解决方案4】：

既然您提到了 Lambda 演算，我将建议如何使用 SK 组合器来解决这个问题。 η-reduction 是一个很好的尝试，但正如您所说，当变量被使用两次时，您不能 η-reduce。

S = λfgx.fx(gx)
K = λxy.x

重复特征由S编码。您将问题简化为：

λx.(+)((*)xx)

那么让我们从这里开始吧。 Any lambda term can be algorithmically transformed to a SK term.

T[λx.(+)((*)xx)]
= S(T[λx.(+)])(T[λx.(*)xx])        -- rule 6
= S(K(T[(+)]))(T[λx.(*)xx])        -- rule 3
= S(K(+))(T[λx.(*)xx])             -- rule 1
= S(K(+))(S(T[λx.(*)x])(T[λx.x]))  -- rule 6
= S(K(+))(S(*)(T[λx.x]))           -- η-reduce
= S(K(+))(S(*)I)                   -- rule 4

在 Haskell 中，S = (<*>) 和 K = pure 和 I = id。因此：

= (<*>)(pure(+))((<*>)(*)id)

并重写：

= pure (+) <*> ((*) <*> id)

然后我们可以应用我们知道的其他定义：

= fmap (+) ((*) <*> id)     -- pure f <*> x = fmap f x
= fmap (+) (join (*))       -- (<*> id) = join for Monad ((->)a)
= (+) . join (*)            -- fmap = (.) for Functor ((->)a)

【讨论】：