检查矩阵是否为 SPD

Question

在 Matlab 中检查矩阵是否为对称正定矩阵的最快（运行时间）方法是什么？我已经对大量大小（维度）从 10000 到 100000 不等的稀疏矩阵运行了这个测试？

编辑：

对于我来说，Cholesky 的成本太高了。如果它表明矩阵可能是 spd，我需要先进行脏检查，然后我可能会使用 CHOL 更可靠地只检查那些矩阵

Answer 1

您可以通过使用Gershgorin's Theorem（用于估计特征值）从考虑中排除一些矩阵来稍微精简该字段。

结果是，如果将每一行（对角线除外）元素的绝对值相加，k，你会得到一个半径，r _k。对应的特征值必须位于对角线值的半径范围内，a_kk。所以，如果 a_kk > r_k 对于所有 k，你的矩阵就是 PD。如果 a_kkk 对于某些 k，您的矩阵可能仍然是 PD，因为所有这些意味着一个或多个 Gershgorin 圆盘横跨虚轴（或零），实际特征值可能在任一侧。

假设issymmetric(A) 成功，类似于：

r = sum(abs(A),2)-diag(A);
if length(find(r>diag(A))) == 0,
    % No circles cross the origin: A is PD
else
    % A might still be PD: do some other test
end

使用矩阵M=sprandsym(n,n,d)+c*speye(n,n) 对此进行快速'n'dirty 测试，其中一些是 PD，而另一些则不是（玩弄 n、d 和 c），似乎表明它识别许多但不是全部的 SPD 矩阵（如预期的那样），但对于“大”n，与 eig()（及其底层 Cholesky）相比，非常便宜。对于您的特定矩阵，它可能有效，也可能无效。 YMMV，我猜。

显然，我还没有弄清楚所有细节，但我相信你明白了。

Answer 2

关于上面提到的trace测试： 假设矩阵 A 为：

A =
    1.0000    1.6000
    1.6000    1.0000

然后

trace(A) is 2 

但是A的特征值是eig(A)

ans =
   -0.6000
    2.6000

因此特征值并不都是正的。 因此，该矩阵不是 SPD，但其迹线 > 0。 基于这个反例，我怀疑跟踪测试不是决定性的。

Answer 3

我认为要有效地做到这一点，这是一个不平凡的问题。如果矩阵不是正定矩阵，Cholesky 算法将失败，因此最好自己实现，这也有一个优势，即当算法失败时，由于输入不是正定矩阵，人们可以控制该怎么做。我使用 C# 而不是 Matlab 进行数学编程，而我的 Cholesky 实现只有几行代码，所以并不难。如果您使用其他人的算法，则取决于它的实现方式，如果您输入非对称矩阵，您可能会得到误导性结果，因为某些实现假设矩阵是对称的。我能想到的唯一快速预测试是检查the matrix trace，如果矩阵是 SPD，这将是肯定的。

Answer 4

我想你可以看看你的矩阵的特征值，并检查它们是否都是不同的和实值的。

因此，您可能会认为调用eig 函数如下：

[V,D] = eig(A)

希望对你有帮助

Answer 5

如here 所述，您可以使用chol 函数来检查矩阵是否为PD。

CHOL 函数提供可选的第二个输出参数“p” 如果发现矩阵是正定的，则​​为零。 CHOL 如果仅提供一个函数，则函数将返回错误 输出参数，并且还给出了一个不是正数的矩阵 定。注意：CHOL 期望其输入矩阵是对称的，并且只有 查看矩阵的上三角部分。

关于对称性，可以使用如下函数：

issym = @(m) isequal(tril(x), triu(x)');