python：检查是否对角化矩阵答案

【问题标题】：python : check if diagonalisable matrixpython：检查是否对角化矩阵
【发布时间】：2015-09-19 21:56:59
【问题描述】：

我想用 Python 对矩阵进行对角化，这是我的脚本：

import scipy.linalg as lg
vp = lg.eig(A)      # eigen values and vectors 
D = N.diag(vp[0])  # diagonalisation of A from its eigen values
P=vp[1]          # such as A = P.D.P(-1)   
Pm1=lg.inv(P)

但是我怀疑 A 不可对角化，但这并不妨碍 Python 计算 D、P 和 P(-1) 没有任何麻烦...更重要的是，D 中的系数是复数，当那些在 A 中是真实的吗？有没有办法检查这个数组是否可对角化？

非常感谢提前

【问题讨论】：

标签： python matrix scipy diagonal

【解决方案1】：

对角化矩阵在 C^nxn 中是密集的。这对浮点计算意味着什么是舍入误差使矩阵对角化 --- eig(A) 的结果是 eig(Ap) 其中|A - Ap| <= floating point error 和 Ap 是对角化的。计算特征值的标准数值算法会给出这样的结果。

实矩阵的特征值可以是复数，例如为[1 -2; 1 1]。

如果您使用精确算术，则可以对不可对角矩阵进行完全可靠的检测；在浮点数中，您也许可以将与不可对角化矩阵“接近”的可对角化矩阵视为不可对角化矩阵（参见例如https://dl.acm.org/citation.cfm?id=355912）。

编辑：可以通过计算特征向量矩阵w, V = np.linalg.eig(A); c = np.linalg.cond(V) 的条件数来获得浮点非对角性接近度的一种度量。如果c 很大，在1/eps ~ 10**16 附近，则矩阵在数值上接近不可对角化。

【讨论】：

【解决方案2】：

您可以使用SymPy。它有一个函数is_diagonalizable。

它检查矩阵是否可对角化。

【讨论】：

这对于整数和有理矩阵条目来说是可以的，但请注意，在浮点中它具有通常的浮点问题（并且 sympy 中使用的算法对于这种情况不是最优的，比 np. linalg.eig）。考虑sympy.Matrix([[1, 1], [1e-100, 1]]).is_diagonalizable() == False。
from sympy import Matrix as Mx if Mx(A).is_diagonalizable()== False: print "A not diago"
对不起，我还没写完就发了。我添加了上面的代码以尝试得到错误：“文件”/usr/lib/pymodules/python2.6/sympy/matrices/matrices.py”，第 1477 行，在 getattr 中引发 AttributeError （）”从“如果”行...

【解决方案3】：

如果A 不可对角化，则P 中的向量将是线性相关的。但是，由于数值错误，它们可能非常接近线性相关。

例如，考虑

P = array([[1, 0],[1, 0.001]])

让

Pm1 = inv(P)

那么P * Pm1 - eye(2) 将远非零

[[    0.     0.]
 [-1000.     0.]]

在计算逆时，请始终查看矩阵的条件数。例如cond(P) = 2000.5，这是一个非常大的数字。

另外，对于某些矩阵，由于数值错误，eig() 的输出可能与真实的特征值列表相差甚远。

至于复特征值，回想一下，实矩阵可能具有复特征值，尽管它们是复共轭对。由于实数域不是代数闭域，因此您不能期望特征值始终为实数，除非矩阵 A 是对称的。

【讨论】：