超级简单示例的错误 Python Numpy 特征向量值答案

【问题标题】：Incorrect Python Numpy Eigenvector Values for Super Simple Example超级简单示例的错误 Python Numpy 特征向量值
【发布时间】：2018-07-07 15:20:57
【问题描述】：

我正在尝试学习如何使用 numpy 在一个简单的示例中确定特征向量和值，但结果看起来不正确。这是我的代码：

import numpy as np
import numpy.linalg as la

# create the matrix
matrix = np.array([[-2, 1, 0], [1, -2, 1], [0, 1, -2]])
print("Matrix:\n", matrix)

# calculate the eigenvalues and vectors
vals, vecs = np.linalg.eigh(matrix)

# print the eigenvalues and vectores
print("vals:\n", vals)
print("vecs:\n", vecs)

# get the eigenvectors
v1 = vecs[:,0]
v2 = vecs[:,1]
v3 = vecs[:,2]

print("v1:", v1)
print("v2:", v2)
print("v3:", v3)

# compute dot
dot1 = np.dot(matrix, v1)
dot2 = np.dot(matrix, v2)
dot3 = np.dot(matrix, v3)

# is the dot collinear to the eigenvectors?
print("dot1 / v1", dot1 / v1)
print("dot2 / v2", dot2 / v2)
print("dot3 / v3", dot3 / v3)

这是输出：

Matrix:
 [[-2  1  0]
 [ 1 -2  1]
 [ 0  1 -2]]
vals:
 [-3.41421356 -2.         -0.58578644]
vecs:
 [[  5.00000000e-01  -7.07106781e-01  -5.00000000e-01]
 [ -7.07106781e-01   4.88509860e-17  -7.07106781e-01]
 [  5.00000000e-01   7.07106781e-01  -5.00000000e-01]]
v1: [ 0.5        -0.70710678  0.5       ]
v2: [ -7.07106781e-01   4.88509860e-17   7.07106781e-01]
v3: [-0.5        -0.70710678 -0.5       ]
dot1 / v1 [-3.41421356 -3.41421356 -3.41421356]
dot2 / v2 [-2.         -4.54534541 -2.        ]
dot3 / v3 [-0.58578644 -0.58578644 -0.58578644]

当我使用在线计算器 (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/engl_eigenwert2.htm) 计算特征向量时，我得到：真实特征值：{ -3.414213562373095 ; -2 ; -0.585786437626905 }

特征向量：

对于特征值 -3.414213562373095： [ 1 ; -1.4142135623730954； 1]

对于特征值 -2： [ -1 ; 0; 1]

对于特征值 -0.585786437626905： [ 1 ; 1.4142135623730954； 1]

特征值匹配，但特征向量不匹配。

问题： 1. numpy 是否对特征向量进行缩放？

如何证明（矩阵点特征向量）与特征向量共线，以证明我有正确的特征向量。我在想将点积除以特征向量会显示一个恒定的偏移量，但特征向量 2 不会发生这种情况。话虽如此，当我将 numpy 与在线计算器进行比较时，特征向量 2 在我看来并不正确。这是显示共线性的正确方法吗？

【问题讨论】：

您将 dot2 除以 v2 元素。 dot2 和 v2 中的第二个元素大约为 0（我分别得到大约 -2.6e-16 和 2.08e-17）。如果计算准确，则这些元素将恰好为 0，并且不会定义您的除法。因此，您将较小的数值噪声除以较小的数值噪声，从而产生放大的噪声。

标签： python numpy linear-algebra

【解决方案1】：

documentation for numpy.linalg.eig 声明它返回

归一化（单位“长度”）特征向量

所以是的，向量被归一化了。

特征值 2 的特征向量的值非常接近于零。如果你认为它为零，那么答案是正确的，并且与你得到的特征向量共线。

检查两个 3D 向量是否共线的一种简单方法是取它们的叉积。如果得到的向量是零向量或非常接近零向量，则这些向量是共线的。

【讨论】：

【解决方案2】：

Numpy 正在正确计算特征向量/值。您可以通过运行（回答问题 2）来检查这一点：

print(np.dot(vecs,np.dot(np.diag(vals),vecs.T)) - matrix)
print(np.dot(vecs,vecs.T))

第一个输出告诉您特征值分解与矩阵的近似程度。第二个输出显示特征向量是正交的。这两个条件满足特征值分解的约束/目标。

问题1：是的，numpy将特征向量的长度归一化为1。

lengths = [print(la.norm(vecs[:,i])) for i in range(3)]

注意：你也可以通过计算它们的点积来确认这两种方法的特征向量是等价的：

print(np.dot(vecs[:,0],[ -1, 0, 1 ]))

是零，而

np.dot(vecs[:,0],[ 1, -1.4142135623730954, 1 ])

为 2，即两个向量长度的乘积。

【讨论】：