朴素的 LFSR，将编程语言翻译成数学答案

【问题标题】：naive LFSR, translate programming language to mathematics朴素的 LFSR，将编程语言翻译成数学
【发布时间】：2011-07-19 02:41:13
【问题描述】：

存在数学问题，就是生成n个唯一随机数序列的问题（随机数是N { 0, ..., n }的元素，（类似排列，但不使用内存）

最近我解决了这个问题，我确实得到了一些结果（请阅读下文，不使用正式数学，仅通过编程）。

而且似乎这个问题在过去已经通过由 Galois 或其他一些数学家构建 LFSR（线性反馈移位寄存器）来解决。（我实际上首先是从 LFSR 中发现的，而不是构建我的“那种”解决方案，因为我无法理解 wiki 上的 LFSR 文章，并且不想只是复制粘贴源代码）

问题是我不懂形式数学，想学习它并将我的解决方案与 LFSR 的解决方案进行比较，所以问题是：

你能否将我所做的与那件事进行比较，并以某种方式将其转化为形式数学，反之亦然。所以我可以理解我做了什么以及正式的数学家做了什么（以及他们为什么需要它）？

请记住，我的语言是编程语言，我只了解内存及其寻址、内存状态、零和一的字符串等，而我不懂原始多项式、场论和其他数学单词。

非常感谢你，如果你能帮助我，我会在见到你时给你买啤酒。

下面是我的代码（你可以在浏览器中运行它，我没有说它是正确的，但我相信想法应该很接近，我没有任何其他想法如何解决它。）：

<html>
<head>
<script>

//-------------------------------------------------

function getPlacement( num ){ //; knuth permutations
  var places = [];

  for( var i = 0; i < num; ++i )
     places.push( i );

  var last_index = num-1;
  for( var i = num; i > 0; --i ){
    var rnd_index = Random( i );
    places = swap( places, rnd_index, last_index );
    last_index--;
  }

  return places;
}

function readNum( num, placement ){
   var numstr = num.toString(2);            
   numstr = zeroextend( numstr, placement.length ); 
   var numarr = numstr.split('');           

   var ret = [];
   for( var i = 0; i < placement.length; ++i ){
      ret.push( numarr[ placement[i] ] );      
   }
   return ret.join('');
}

function UniqRndSeq( maxLength, output ){

   var placesNeeded = maxLength.toString(2).length;
   var randomPlacement = getPlacement( placesNeeded );

   var initPosition = Random( maxLength );
   var cnt = initPosition;

   var rndn;
   var numret = [];

   do{
     rndn = parseInt( readNum( cnt, randomPlacement ), 2);
     output( rndn );

     if( Containz( numret, rndn ) ) alert(rndn); 
     numret.push(rndn);     

     ++cnt;
     cnt = cnt % maxLength;

   } while( cnt != initPosition );  

}

//-------------------------------------------------
//; helper funs
var outp = [];

function display( num ){
   outp.push( num + "<br>" );
}

function Random( x ){
   return Math.floor(Math.random()*x);
}

function Containz( arr, num ){
   for( var i = 0; i < arr.length; ++i ){
      if( arr[i] == num ) return true;
   }
   return false;
}

function swap( list, a, b ){
   var tmp = list[a];
   list[a] = list[b];
   list[b] = tmp;
   return list;
}

function zeroextend( num_bin_str, length ){
   while( num_bin_str.length != length ){
      num_bin_str = "0" + num_bin_str;
   } 
   return num_bin_str;
}

//-------------------------------------------------

function init(){
   UniqRndSeq( 256, display);
   document.body.innerHTML = outp.join('');
}


</script>
</head>
<body onload="init();">

</body>
</html>

【问题讨论】：

请使用“you”而不是“u”。

标签： algorithm math

【解决方案1】：

线性反馈移位寄存器 (LFSR) 是确定性的，即它不使用任何类型的随机数函数。因此，您的代码不太可能模拟 LFSR。如果您对多项式环或有限域理论一无所知，则很难解释 LFSR 背后的数学原理。然而，一个适当的 LFSR 会生成所谓的 n 位数字字的 m 序列，其中 n 是 LFSR 中的级数。序列的长度为 2^n - 1 个字（零字不在序列中）。一般来说，我们只关心序列中单词中的一位位置。（在 Galois LFSR 中，这通常是约定的 0 位，但实际上所有位都具有相同的属性）。从每个单词中提取该单个位时，形成一个 2^n - 1 长度的位序列，该序列具有以下与随机性相关的众所周知的数学属性：

平衡属性：随着序列的长度接近无穷大，序列中 1 的数量接近 0 的数量。序列中 1 的数量实际上总是比 0 的数量大 1。注意序列长度是奇数，所以数字1和0不能相等。

Runs 属性： m + 1 长度的运行次数是 m 长度的运行次数的一半。一个 m 长度的 run 是一个全 1 或全 0 的 m 长度位序列。

相关属性：当序列的长度接近无穷大时，序列的自相关接近零* [* 更准确地说，是克罗内克三角函数]。也就是说，如果一个序列和它自己比较，它在时间上移动了t个比特，其中t不等于序列长度，比特数比较相等的位置大致等于比较不相等的位置数。从本质上讲，这意味着该序列没有周期性子序列。

您可以将您的代码结果与这些属性进行比较，并就结果与 LFSR 的接近程度得出自己的结论。

【讨论】：