修改各向同性扩散的高斯混合模型的期望最大化算法？

Question

我的模型系统：一个各向同性扩散粒子，它在各种扩散系数（D1 D2 D3 ...）之间进行随机切换。

由于这个假设粒子沿轨迹的位移可以按照高斯分布进行建模，因此使用高斯+模型选择的混合来提取有关不同“状态”或系数数量的信息似乎很自然存在扩散，这将表现为混合物中的不同成分。

似乎有很多代码可以在协方差矩阵不受约束的 GMM 上执行 EM。然而，在我的特定应用中，各向同性扩散意味着我的矩阵不仅是对角线，而且对角线的所有分量对于每个混合分量都是相等的，这意味着在 x、y、z 方向上的扩散速率是相同的。

任何人都可以就这种特殊情况下的期望和最大化步骤将如何变化提供指导吗？

Answer 1

由于 EM 是迭代的，您可以在每次迭代后对分布进行白化。每次迭代后，您将得到一个良好的各向同性高斯混合。它应该可以正常工作。

更聪明的方法是使用各向同性拟合而不是常规高斯拟合。这可能会变得棘手，并且可能会导致计算时间大幅增加，因为您将无法使用 MLE。

Answer 2

好吧，如果您想了解数学本身的信息，link 在第 6 节中针对各向同性协方差矩阵的具体情况进行了解释。公式在第 7 页末尾给出。

一句话，E步是一样的。你像往常一样计算权重。 在 M 步骤中，您也照常计算中心，但协方差矩阵略有不同。

发生这种情况是因为您需要计算对数似然中的概率密度函数。在各向同性分布的情况下，可以在对密度函数求导之前对其进行简化，从而对协方差矩阵产生不同的结果。