来自最小二乘派生平面的法线向量答案

【问题标题】：Normal vector from least squares-derived plane来自最小二乘派生平面的法线向量
【发布时间】：2010-12-01 04:34:09
【问题描述】：

我有一组点，我可以得出以下形式的最小二乘解：

z = Ax + By + C

我计算的系数是正确的，但是如何在这种形式的方程中获得垂直于平面的向量？简单地使用这个方程中的 A、B 和 C 系数作为使用我的测试数据集的法线向量似乎并不正确。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

dmckee 答案上的一点额外颜色。我会直接发表评论，但我还没有足够的 SO 代表。 ;-(

平面 z = Ax + By + C 只包含 C=0 时的点 (1, 0, A) 和 (0, 1, B)。因此，我们将讨论平面 z = Ax + By。当然，这很好，因为第二个平面平行于原始平面，即包含原点的唯一垂直平移。我们希望计算的正交向量在这样的平移下是不变的，所以没有什么坏处。

当然，dmckee 的措辞是他指定的“向量”位于平面中，而不是点，因此可以说他被覆盖了。但我觉得明确承认隐含的翻译很有帮助。

男孩，我也有一段时间研究这些东西了。

学究你的... ;-)

【讨论】：

【解决方案2】：

根据 dmckee 的回答：

a x b = (a2b3 - a3b2), (a3b1 - a1b3), (a1b2 - a2b1)

在你的情况下 a1=1, a2=0 a3=A b1=0 b2=1 b3=B

所以 = (-A), (-B), (1)

【讨论】：

【解决方案3】：

形成两个向量

v1 = <1 0 A>
v2 = <0 1 B>

两者都在平面内，取叉积：

N = v1 x v2 = <-A, -B, +1>     (or    v2 x v1 = <A, B, -1>  )

之所以有效，是因为两个向量的叉积始终垂直于两个输入。所以在平面中使用两个（非共线）向量会给你一个法线。

注意：当然，您可能想要标准化正常，但我将把它留作练习。

【讨论】：