如何找到可能的指数近似的系数

Question

我有这样的数据：

y = [0.001
     0.0042222222
     0.0074444444
     0.0106666667
     0.0138888889
     0.0171111111
     0.0203333333
     0.0235555556
     0.0267777778
     0.03]

和

x = [3.52E-06
     9.72E-05
     0.0002822918
     0.0004929136
     0.0006759156
     0.0008199029
     0.0009092797
     0.0009458332
     0.0009749509
     0.0009892005]

我希望 y 是 x 的函数，其中 y = a(0.01 − b*n^−cx)。

找到适合数据的系数a、b 和c 的最佳组合的最佳和最简单的计算方法是什么？

我可以使用八度吗？

Answer 1

你的功能

y = a(0.01 - b*n^-cx)

是一种非常特殊的形式，有 4 个未知数。为了从您的观察列表中估计您的参数，我建议您简化它

y = β₁ + β₂^β₃x

这成为我们的目标函数，我们可以使用普通最小二乘法来求解一组好的 beta。

在默认的 Matlab 中，您可以使用 fminsearch 找到这些 β 参数（我们称之为参数向量，β），然后您可以使用简单代数回到你的a、b、c和n（假设你知道b或n前面）。在 Octave 中，我相信你可以找到一个等效的函数，我会从这里开始：http://octave.sourceforge.net/optim/index.html。

我们将调用fminsearch，但我们需要以某种方式传递您的观察结果（即x 和y），我们将使用匿名函数来执行此操作，例如文档中的示例2：

beta = fminsearch(@(x,y) objfun(x,y,beta), beta0) %// beta0 are your initial guesses for beta, e.g. [0,0,0] or [1,1,1]. You need to pick these to be somewhat close to the correct values.

我们这样定义我们的目标函数：

function sse = objfun(x, y, beta)
    f = beta(1) + beta(2).^(beta(3).*x);
    err = sum((y-f).^2); %// this is the sum of square errors, often called SSE and it is what we are trying to minimise!
end

所以把它们放在一起：

y= [0.001; 0.0042222222; 0.0074444444; 0.0106666667; 0.0138888889; 0.0171111111; 0.0203333333; 0.0235555556; 0.0267777778; 0.03];
x= [3.52E-06; 9.72E-05; 0.0002822918; 0.0004929136; 0.0006759156; 0.0008199029; 0.0009092797; 0.0009458332; 0.0009749509; 0.0009892005];
beta0 = [0,0,0];

beta = fminsearch(@(x,y) objfun(x,y,beta), beta0)

现在你的工作是解决a、b 和c 的beta(1)、beta(2) 和beta(2) 和beta(3)，您可以在纸上完成。