用 numpy 求解 Gram 矩阵上的线性方程

Question

考虑一种情况，给定一个 MxM 矩阵 A 和一个向量 b，我想解决 inv(A @ A.T) @ b 形式的问题（我知道 A 是可逆的）。 据我所知，使用solve_* 总是比使用inv 更快。还有一些变体可以使用 Cholesky 分解更有效地求解 PSD 矩阵（A @ A.T 必须如此）。

我的问题 - 因为我正在构造矩阵 A @ A.T 只是为了立即将其丢弃 - 是否有更专业的程序可以用 A 的 gram 矩阵求解线性方程而无需构造它？

Answer 1

您可以计算 A 的因式分解，然后用它来求解您的系统。

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假设我们要解决

A A^T x = b

为x。

计算A=LU 的分解。 然后将Ay=b 求解为y。 然后解决A^T x = y 为x。

这样您就不必计算矩阵A^T A。

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请注意，如果有一个 A=LU 的因式分解，则可以有效地解决 Ax=b 和 A^T x=b 的 x。 这是因为A^T=U^T L^T 又是一个下乘以上三角矩阵的因式分解。