了解使用不同宽度的高斯进行卷积/反卷积时的行为

Question

我对 StackExchange 还很陌生，所以希望我的格式正确！

我一直试图通过 FFT 在 Python 上更好地理解卷积/反卷积的效果。

目前，我有一个波形和一个 σ=14 的高斯 PDF。通过 FFT 对它们进行反卷积得到this underlying signal。 如果我采用该基础信号并将其与具有相同参数的高斯进行卷积，我将得到原始波形，正如预期的那样。

但是，我正在尝试解决的当前问题是，为什么当我将基础信号与具有不同 σ 的高斯进行卷积时，我的新波形的形状会发生如此剧烈的变化：https://imgur.com/a/U7lvn7q

如果我将 σ 从 14（用于与原始波形反卷积的高斯的原始参数）更改为 12，我会看到新波形尾部的波动更大，行为更不稳定，但整体形状仍然类似于原始波形的形状。 但是，当我将 σ 从 14 更改为 20 或从 14 更改为 10 并将该高斯与基础信号进行卷积时，生成的波形看起来 与原始波形完全不同。

是什么导致了这些剧烈的变化？它是高斯 PDF 的一些基本属性吗？我对卷积/反卷积和 FFT/iFFT 的数学有相当好的掌握，但我希望有人能帮助我理解是什么导致了波形形状的这些变化！非常感谢。

#reading in the arrays from the txt file for the waveform

    mu = 9,990
    sig = 14
    totArea = 0
    time_array = [] 
    charge_array = []

    for i in range(len(file)):
        t = f[i][0]
        a = f[i][1]
        totArea += a
    tot = totArea * 3.3

#defining a Gaussian function with given mu and sigma

    def gaussfn(t,sig,mu):
        return np.exp((-(t-mu)**2)/(2*sig**2))

    result_orig = integrate.quad(lambda t:gaussfn(t,sig,mu),
    (mu-3*sig),(mu+3*sig))
    amp_orig = tot/result_orig[0]
    array_orig = amp_orig * gaussfn(time_array,sig,mu)

#deconvolving waveform and Gaussian via FFT to get the underlying signal

    gauss_orig_fft = np.fft.fft(array_orig)
    waveform_fft = np.fft.fft(charge_array)
    decon_orig = waveform_fft/gauss_orig_fft

    signal = np.fft.ifft(decon_orig) 

#defining a new Gaussian function of a different width

    new_sig = 10
    def gaussfn(t,new_sig,mu):
        return np.exp((-(t-mu)**2)/(2*new_sig**2))

    result_new = integrate.quad(lambda t:gaussfn(t,new_sig,mu),
    (mu-3*new_sig),(mu+3*new_sig))
    amp_new = tot/result_new[0]
    array_new = amp_new * gaussfn(time_array,new_sig,mu)

#using FFT to convolve the underlying signal (above) with a
Gaussian of a different sigma to get a new waveform

    gauss_new_fft = np.fft.fft(array_new)
    signal_fft = np.fft.fft(signal)
    convolution_new = signal_fft * gauss_new_fft
    new_waveform = np.fft.ifft(convolution_new)

Answer 1

你的反卷积实现：

decon_orig = waveform_fft/gauss_orig_fft

对噪音非常敏感。绘制gauss_orig_fft。您会看到它在很大的频率区域内几乎为零（这些是高频）。尤其是在高频下，信号内容通常很少，这意味着噪声在这里占主导地位。通过将这些频率除以如此小的值，您可以非常强烈地增强这种噪声。因此，您的去卷积信号主要是噪声。注意你的反卷积信号的幅度，它比输入大一个数量级！

为避免这种情况，请查看the Wiener filter。它与您所做的基本相同，但会调整结果以避免增强噪音。

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关于高斯滤波的输出，您会注意到，对于接近 14 的 sigma，您再次逼近原始信号。对于较小的 sigma，平滑度较低，噪声继续占主导地位。对于更大的 sigma，一切都被抑制得更多，但仍然有一点噪音。不幸的是，由于您的卷积核未归一化，我们无法看到信号幅度被减小。您应该将array_new 除以其总和，使其总和为 1。这使得平均信号值在滤波前后保持不变，并允许您比较滤波前后信号的幅度.

第二个问题是您的内核没有以原点为中心。这会导致滤波后的信号偏移。由于 DFT 的周期性，信号基本上是回绕的。在 DFT 中，原点是信号的第一个样本。信号是周期性的，高斯将部分出现在左端，部分出现在右端，这样如果您重复信号，您可以看到完整的高斯。以这种方式定义内核，应用过滤器后不会出现偏移。