如何在频域中实现卷积？答案

【问题标题】：How can I implement convolution in frequency domain?如何在频域中实现卷积？
【发布时间】：2016-10-13 06:11:02
【问题描述】：

假设，我们有一个表示为二维整数数组的位图图像， int [,] image2D;，其 FFT 为 Complex[,] fftImage2D;

假设，我们有一个表示为 2D 整数数组的内核， int [,] kernel2D;，其 FFT 为 Complex[,] fftKernel2D;

我们知道，image2D 和kernel2D 的卷积（在空间域中）是，

int Rows = image2D.GetLength(0);
int Cols = image2D.GetLength(1);

for(int i=0 ; i<Rows ; i++)
{
    for(int j=0 ; j<Cols ; j++)
    {
        //sweep the kernel2D across image2D
        //...........................
    }
}

以下链接都是关于空间域卷积的：

http://www.codeproject.com/Articles/2008/Image-Processing-for-Dummies-with-C-and-GDI-Part http://www.gutgames.com/post/Matrix-Convolution-Filters-in-C.aspx https://softwarebydefault.com/2013/05/01/image-convolution-filters/

频域卷积是fftImage2D和fftKernel2D之间的乘积。

我该如何做这个乘法？

如何将两个不同维度的Complex [,] 类型的二维数组相乘？

【问题讨论】：

标签： c#-4.0 image-processing fft

【解决方案1】：

要通过在频域中使用乘法来执行线性卷积，您必须首先确保两个复杂的二维数组具有相同的维度。这可以通过将两个空间域数组（image2D 和kernel2D）填充到相同的大小来实现。请注意，您已经必须将空间域数组填充到至少比两个数组维度（沿每个维度）的总和小 1 以执行线性卷积而不是循环卷积。

所以过程如下：

计算填充的行数：image2D.GetLength(0)+kernel2D.GetLength(0)-1
计算填充的列数：image2D.GetLength(1)+kernel2D.GetLength(1)-1
将image2D 填充到这个新大小，重复边框元素
将kernel2D 填充到这个新大小，填充零
计算填充 image2D 和 kernel2D 的 FFT
将填充后的 fftImage2D 和 fftKernel2D 现在大小相同
计算逆 FFT
可以选择将结果截断为原始image2D 大小（仅当您有兴趣获得由kernel2D 过滤的图像而没有完全卷积带来的边缘效应时才需要这样做）。

对于示例实现，未来的读者可能会查看this other question from @anonymous 以及我在my answer 中指出的更改。

【讨论】：

如果我取两者中较大的一个（image2D vs kernel2D）作为焊盘尺寸？我应该将内核保持在填充图像的中心还是四个角中的任何一个？而且，我怎样才能截断 image2D？
如果你只取两者中较大的一个作为焊盘尺寸，你最终会得到一些来自圆形卷积的伪影。只有当尺寸至少达到上述值时，工件才会变为零。频域中的内核位置应位于 4 个角（假设零频率位于中心，这很常见），除非您还对图像进行 fftshift/ifftshift （即，您需要保持两个图像具有相同的零频率位置）。
空间域中的内核位置可以在任何地方，只要您在截断结果图像时考虑相应的偏移。如果你把它放在空间域的 4 个角落，你应该得到一个零偏移，所以截断结果图像只会取第一个 GetLength(0) 和 GetLength(1) 像素。

【解决方案2】：

您必须使用multiplication of two complex numbers。

这里有一段 java 代码，用于处理两个 1D 数组，编码如下：[R1, C1, R2, C2, ..., Rn, Cn]：

public void Multiply(double[] object1, double[] object2, double[] result)
{
double img_r, img_i, mask_r, mask_i ;

for (int pos=0 ; pos < result.length ; pos+=2)
    {
    img_r = object1[pos] ;
    img_i = object1[pos+1] ;

    mask_r = object2[pos] ;
    mask_i = object2[pos+1] ;

    result[pos]   = img_r*mask_r - img_i*mask_i;
    result[pos+1] = img_r*mask_i + img_i*mask_r ;
    }
}

【讨论】：