如何定义卡尔曼滤波器的状态转移矩阵？

Question

我正在努力理解Kalman Filter，但有些术语我无法理解。

我正在阅读有关动态模型转换矩阵 (4x4) 的信息。它说这个矩阵会将下面的方程映射到状态分量。这些方程是简单的物理方程：

xt = x(t-1) + vx(dt)
yt = y(t-1) + vy(dt)
dt = 1

表示这个的代码如下：

dt = 0.1
DT = np.matrix([[1.,0.,dt,0],[0.,1.,0.,dt],[0.,0.,1.,0.],[0.,0.,0.,1.]])

有人可以帮我理解这个吗？这种表示究竟是什么？

Answer 1

状态转换矩阵描述了在给定初始状态的情况下，您的状态如何随时间传播。对于线性时不变 (LTI) 系统，这是一个常数矩阵。

例如，假设我有一个二维离散时间 LTI 模型，如下所示：

x(k+1) = x(k) ---- (1)

y(k+1) = y(k) + 2x(k) ----- (2)

这可以通过查看每个方程中的状态系数来写成矩阵形式，如下所示：

[x(k+1), y(k+1)] = [[1.0, 0.0],[2.0, 1.0]]* [x(k),y(k)]

矩阵 [[1.0, 0.0],[2.0, 1.0]] 称为状态转移矩阵。 请注意，这类似于以矩阵形式编写线性方程组使用 Cramer 规则或矩阵求逆同时求解它们。

如您所见，只有 x(k) 出现在 (1) 中，系数为 1，因此转移矩阵的第一行是 [1.0, 0.0]。同样，第二行是[2.0, 1.0]。

看看你的矩阵的结构

DT = np.matrix([[1.,0.,dt,0],[0.,1.,0.,dt],[0.,0.,1.,0. ],[0.,0.,0.,1.]])

我可以告诉你有 4 个变量 [x(t-1), y(t-1), vx, vy]。您只展示了两个状态方程（x(t) 和 y(t)），并且矩阵的前 2 行与方程中变量的系数很好地对应。

从你的矩阵中，我可以推断出最后两个方程是

vx(t) = vx(t-1) 和 vy(t) = vy(t-1)。

我建议您阅读有关状态空间模型的更多信息（LTI 应该就足够了）。 https://en.wikipedia.org/wiki/State-space_representation

注意：对于连续时间模型，获取状态转移矩阵需要找到矩阵指数。

Answer 2

所以转移矩阵描述的是从一个时间点i到下一个i+1的自发转移。比如说，你有一个小机器人开车穿过你的房子。然后有时它会在地板上滑动一点，因为它并不总是具有良好的牵引力。转移矩阵试图对其进行建模。

然后在卡尔曼滤波器的几个部分中使用转换模型。首先，描述你的机器人在时间点 i 的方差和位置。它是制定传感器模型的预测误差（卡尔曼增益）的一部分，以最小化下一次测量的方差。

基本上，它是卡尔曼滤波器的重要组成部分，但也是微不足道的。它只是试图模拟随时间的自发过渡（也就是滑动、滑倒、被风推动......）

如果这没有帮助，请询问更多。