找到一条从顶点 s 到顶点 t 的路径，其中颜色交替最少

Question

让 是有向图，让 是红色和蓝色的边缘着色。让 s,t 是 G 中的顶点。找到一条从 s 到 t（如果存在）的路径，使得沿着这条路径的颜色变化次数最少。

我尝试过如下操作：

1. 设为去掉所有 G 的蓝色边。设 为得到的图 通过去除所有红色的 G。
2. 让 是 的strongly connected 图，计算 使用this 算法。
3. 让 成为 strongly connected 的图，使用计算 this算法。
4. 为顶点着色 为红色，并为顶点着色 蓝色。
5. 让成为 将与合并得到的图形 。
6. 定义每个（现有）的重量 G' 中的边为 0。
7. 对于每个，这样你 属于强连通分量和v 属于强连通分量 do as 如下：

• 如果 和 将边 添加到 G' 和 将其权重定义为 1。

8. 使用 Dijkstra 算法找到最短的 从 s 的蓝色强连通分量到两者的路径 t 的蓝色和红色强连通分量。
9. 使用 Dijkstra 从红色强连接中找到最短路径的算法 s 的分量，与蓝色和红色都强连接 t 的组成部分。
10. 令 p 表示四个我们之间的最短路径 刚刚发现。 （即，p 具有最少数量的颜色替代）。 p 是一系列强连通分量。 使用 DFS 展开它们中的每一个，以在 G 中找到对应的路径。

这个算法可以在 O(E+V*log(v)) 中运行。可以改进或简化吗？

Answer 1

我不完全理解您的算法，特别是在第 4 阶段，您将使用两种不同颜色的边缘为每个顶点着色 - 蓝色和红色...
因此，我不会尝试改进您的算法，但会提出我自己的一个 - BFS 的变体，时间为 O(E + V)。

想法：遍历图形的边缘并测量深度作为您切换颜色的次数。

注意：我们将运行算法两次，首先假设路径的第一条边是红色的，第二次假设路径的第一条边是蓝色的，然后取最小值。

1. 仅在从 s（这是 BFS 队列中的第一个元素）开始的红色边上运行 BFS，如果您在蓝色边上查看顶点，请将其放在不同的队列中。
2. 用数字i（开头为i=0）标记您看到的所有节点。
3. 将蓝色边缘的队列设为主要队列。
4. 运行阶段 1 到 3，但切换颜色并将 1 添加到 i。

最后，t 中的数字是为达到t 而执行的最小交换次数。