每个二元关系BCNF如何？答案

【问题标题】：How is every binary relation BCNF?每个二元关系BCNF如何？
【发布时间】：2016-02-01 00:40:49
【问题描述】：

因此，作为我的任务的一部分，我必须证明具有两个属性的任何关系都在 BCNF 中。

根据我的理解，如果对于一个关系，我们有第三范式和一个非关键属性在功能上确定关键属性，它违反了 BCNF。

假设我的关系由两个属性 A1、A2 组成

场景1（只有一个函数依赖）

A1 -> A2 (so A1 is the key, and A2 does not FD A1 : so no violation)

同样适用

A2 -> A1

如果

A1->A2 and A2->A1

这里的键可以是A1，A2。而另一个非关键属性在功能上决定了关键。

【问题讨论】：

你的推论与你要证明的东西有什么关系？另外：您解决了 BCNF 不持有的充分条件，但您没有解决所有 BCNF 情况。所以你的共鸣是不健全的。另外：当一些FD持有其他人时。（包括琐碎的 FD）。但你没有解决这个问题。
并不是每个二元关系都在 BCNF 中。您的教师忽略了当 {} 是行列式而不是 CK 时，即某些属性/子行在每个元组中必须具有相同的值但可以有多个元组，那么关系甚至不在 2NF 中，因为 { } 是一个行列式，它是比任何 CK 更合适/更小的子集。（它可以分解为 2 个组件，其中一个是属性/子元组上的投影，另一个是所有其他属性）。正确的是，{} 不是行列式（或者是但是 CK）的每个二元关系都在 BCNF 中。

标签： database-normalization functional-dependencies bcnf

【解决方案1】：

在每个函数依赖中X -> Y、X 和Y 都是属性集。当X 或Y 是空集¹ 时，这需要特别注意。因此，在只有两个属性 A1 和 A2 的示例中，我们拥有所有可能的非平凡依赖：

1. {} -> {A1}
2. {} -> {A2}
3. {} -> {A1 A2}
4. {A1} -> {A2}
5. {A2} -> {A1}

所有其他可能的依赖都是微不足道的依赖，即右集是左集的子集（例如{A1} -> {}、{} -> {}、{A1} -> {A1}、{A1 A2} -> {A1} 等）。我们知道这些依赖总是成立的，所以在范式的定义中不考虑它们。

1.当从依赖项中排除空集时，定理为真

考虑依赖 4 和 5。我们有四种可能的情况：

1. Only 4 holds, so we have: {A1} -> {A2}

这意味着{A1} 是候选键（因为从{A1} -> {A2} 我们可以推导出{A1}->{A1 A2}），并且BCNF 条件得到满足，因为每个依赖项都有一个超键作为行列式；

2. Only 5 holds, so we have: {A2} -> {A1}

相当于前面的情况，只是交换了A1和A2的角色；

3. Neither 4 nor 5 hold (no functional dependencies),

所以正式满足 BCNF（因为没有依赖项违反 BCNF）；最后：

4. both hold, so we have {A1} -> {A2} and {A2} -> {A1}

在这种情况下，关系也在 BCNF 中，因为 {A1} 和 {A2} 都是候选键，因为它们决定了所有属性（简单地将上面的 1 和 2 放在一起）。

2。当我们在函数依赖中允许空集时，定理不成立

考虑一个关系R(A1, A2)，覆盖F的依赖关系

F = { {}-> {A1} }

{} -> {A1}的意思，回顾函数依赖的定义，就是A1这个列有一个常数值。所以我们有两列的关系，其中一列始终具有相同的值。在这种情况下，唯一的候选键是{A2}，因为{A2}+ = {A1 A2}，{A1 A2} 是一个超级键，并且该关系不在 BCNF 中，因为非平凡的函数依赖 ({} -> {A1}) 具有一个不是超级键。

¹ 请注意，在有关该主题的科学文献（以及有关数据库的书籍中）有时明确排除了函数依赖中空集的可能性（例如，参见：Tsou, Don -Min, and Patrick C. Fischer. “Decomposition of a Relation Scheme into Boyce-Codd Normal Form.” ACM SIGACT News 14, no. 3 (July 1, 1982): 23–29. https://doi.org/10.1145/990511.990513), 虽然有时它被允许，或不被讨论。

【讨论】：

如果您使用的 BCNF 的定义在这篇文章中，那肯定会很好。 PS“因为每个依赖项都有一个超键作为行列式” 不。因为每个非平凡的 FD 都有一个超键作为行列式。（引用您使用的定义来检查/建立您的推理/理由会有多大帮助。）“它们不被考虑在正常形式的定义中”这是错误的，并且您实际上是混乱的意思是，正如我在上一条评论中所说的那样，您并没有明确表示。（你似乎一直想走捷径，这只是把事情搞砸了。）

【解决方案2】：

For any relation to be in BCNF, the following must holds.

X → Y is a trivial functional dependency (Y ⊆ X).

X is a superkey for schema R

Wikipedia link here

For Example, there is a relation R = {A,B} with two attributes. 
The only possible (non-trivial) FD's are {A}->{B} and {B}->{A}. 
So, there are four possible cases:

1. No FD's holds in R. {C.K = AB}, Since it is an all key relation it's always in BCNF.

2. Only A->B holds. In this case {C.K = A} and relation satisfies BCNF.

3. Only B->A holds. In this case {C.K = B} and relation satisfies BCNF.

4. Both A->B and B->A holds. In this case there are two keys {CK = A and B} and
   relation satisfies BCNF.

Hence, every Binary Relation (A relation with two attributes) is always in BCNF!

【讨论】：

可以有更多的 FD，一个 FD 的形式是 set -> set。另外：并非每个二元关系都在 BCNF 中，请参阅我对问题的评论。

【解决方案3】：

证明任何具有两个属性的关系都在 BCNF 中。 Boyce-Codd 范式规则：

如果 R 处于第三范式并且对于每个 FD，LHS 是超级键，则关系 R 处于 BCNF 中

所以如果，A1 和 A2 是唯一的属性：A1 -> A2 和 A2 -> A1 作为函数依赖，那么在两个函数依赖中，左边是一个超级键。满足BCNF的条件。

【讨论】：

可以有更多的 FD，一个 FD 的形式是 set -> set。另外：并非每个二元关系都在 BCNF 中，请参阅我对问题的评论。